Question

Dados os vetores u= (2,-3,-1) e v = (1,-1,4), calcular
(A) 2u . (-v)
(B) (u + 3v) . (v – 2u)
(C) (u + v )* (u - v )
(D) (u +v )* (v - u)

Answer 1

u= (2,-3,-1) e v = (1,-1,4), calcular

(A) 2u . (-v) = - 2(2,-3,-1)(1,-1,4)==>-2(2.1,-3.(-1),(-1).4)

 2(2,3,-4) ==> (4, 6, - 8 ) 
===============================================
(B) (u + 3v) . (v – 2u) = u.v + - 2u² + 3v² - 6uv ==> - 2u² + 3v² - 5uv

-2(2,-3,-1)² + 3(1,-1,4)² - 5(2,-3,-1)(1,-1,4)

-2(4,9,1) + 3(1,1,16) -5(2,3,-4) ==>( - 8,- 18, - 2 )+( 3, 3, 48)-( 10, 15, - 20)

==> ( - 15, 0, 66 ) 
==================================================== (C) (u + v )* (u - v ) = u² - v² ==> (4,9,1)-(1,1,16) ==> (3, 8, - 15)====================================================
(D) (u +v )* (v - u) = -( u² - v²) ==> (4,9,1)-(1,1,16)

-(3, 8, - 15)==> (- 3, - 8, 15 )

Answer 2

Dados os vetores u e v, os produtos escalares são:

a) -2

b) 21

c) -4

d) 4

Produto escalar

A definição do produto escalar pode ser dada através da expressão abaixo onde u e v são vetores em R3:

$u \cdot v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

O produto escalar é sempre um número real.

Dados os vetores u e v, temos que:

a) 2u · (-v)

= 2·(2, -3, -1) · (-1, 1, -4)

= (4, -6, -2) · (-1, 1, -4)

= -4 - 6 + 8

= -2

b) (u + 3v) · (v – 2u)

= [(2, -3, -1) + 3·(1, -1, 4)] · [(1, -1, 4) - 2·(2, -3, -1)]

= (5, -6, 11) · (-3, 5, 6)

= -15 - 30 + 66

= 21

c) (u + v) · (u - v)

= [(2, -3, -1) + (1, -1, 4)] · [(2, -3, -1) - (1, -1, 4)]

= (3, -4, 3) · (1, -2, -5)

= 3 + 8 - 15

= -4

d) (u + v) · (u - v)

= [(2, -3, -1) + (1, -1, 4)] · [(1, -1, 4) - (2, -3, -1)]

= (3, -4, 3) · (-1, 2, 5)

= -3 - 8 + 15

= 4

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