Question

Dados os vetores U = (2,1,α), V = (α + 2,−5,2) e W = (2α,8,α), determine o valor de α para que o vetor U + V seja ortogonal a W − U.

Answer 1

Se dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são ortogonais entre si, podemos dizer que:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

Isto é, podemos dizer que o produto escalar entre eles é nulo.

Então, para que U + V seja ortogonal a W - U, devemos ter:

$(U+V)\cdot(W-U)=0\\\\ ((2,\,1,\,\alpha)+(\alpha+2,\,-5,\,2))\cdot((2\alpha,\,8,\,\alpha)-(2,\,1,\,\alpha))=0\\\\ (\alpha+4,\,-4,\,2+\alpha)\cdot(2\alpha-2,\,7,\,0)=0\\\\ (\alpha+4)(2\alpha-2)+(-4)\cdot7+(2+\alpha)\cdot0=0\\\\ 2\alpha^2+6\alpha-8-28+0=0\\\\ 2\alpha^2+6\alpha-36=0\\\\ \alpha^2+3\alpha-18=0$

$\Delta = b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-18)\\\\ \Delta = 9+72\Longrightarrow \Delta = 81\\\\\\ \alpha=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-3\pm\sqrt{81}}{2\cdot1}=\dfrac{-3\pm9}{2}\Longrightarrow \boxed{\alpha=-6}~\text{ou}~\boxed{\alpha = 3}$

Portanto, os valores possíveis para α são -6 e 3.