Question

dados os vetores u=(2,1,-1) e v=(1,-1,m), para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a (raiz quadrada de 62) unidades de área, o valor inteiro de m é:Escolha uma:a. m= 6b. m= 1c. m= 4d. m= -7e. m= 3

Answer 1

M=3 resposta certa! achei essa usando A
[ i .. j .. k]
[2 . 1 . -1]
[1 .-1 .. a] ⇒

(a - 1)i + (-1 - 2a)j + (-2 - 1)k ⇒ (a - 1, -1 - 2a, -3)


A = |u x v|
√62 = √[(a - 1)² + (-1 - 2a)² + (-3)²] (raiz dos dois lados, cancela)
(a - 1)² + (-1 - 2a)² + (-3)² = 62
a² - 2a + 1 + 1 + 4a + 4a² + 9 = 62
5a² + 2a + 11 = 62

5a² + 2a - 51 = 0

∆ = b² - 4ac
∆ = 2² - 4 . 5 . (-51)
∆ = 4 + 1020
∆ = 1024

x = (-b ± √∆) / 2a
x = (-2 ± √1024) / 2 . 5
x = (-2 ± 32) / 10

x' = (-2 - 32) / 10
x' = -34 / 10 ⇒ -17 / 5

x'' = (-2 + 32) / 10
x'' = 30 / 10 ⇒ 3

a = (-17 / 5) ou a = 3

Answer 2

O valor inteiro de m é 3, alternativa E.

Produto vetorial

A definição do produto vetorial pode ser dada através do determinante da matriz abaixo:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right|$

A direção do vetor resultante pode facilmente ser encontrada pela regra da mão direita. Para calcular a área do paralelogramo, deve-se encontrar o módulo do vetor resultante do produto vetorial entre u e v:

S = ||u × v||

Logo, temos:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\2&1&-1\\1&-1&m\end{array}\right|$

u × v = (1·m - (-1)·(-1))i + (-1·1 - 2m)j + (2·(-1) - 1·1)k

u × v = (m - 1)i + (-1 - 2m)j + (-3)k

O produto vetorial entre u e v é o vetor u×v = (m - 1, -1 - 2m, -3). Calculando o módulo do vetor:

||u×v|| = √(m - 1)² + (-1 - 2m)² + (-3)²

||u×v|| = √(m² - 2m + 1) + (1 + 4m + 4m²) + 9

||u×v|| = √5m² + 2m + 11

Como a área deve ser √62:

√62 = √5m² + 2m + 11

5m² + 2m + 11 = 62

5m² + 2m - 51 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes m' = -17/5 e m'' = 3.

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