Question

. Dados os vetores u = (1, 2, −3), v = (2, 0, −1) e ~w = (3, 1, 0), determinar o vetor x tal que
x · u = −16, x · v = 0 e x · w = (3, 1, 0).

Answer 1

O vetor x é igual a x = (2,-3,4).

Correção: x.w = 3.

Solução

Considere que temos dois vetores u = (a,b,c) e v = (d,e,f). O produto interno ou produto escalar entre os vetores u e v é definido por:

• u.v = a.d + b.e + c.f.

Vamos considerar que o vetor x é igual a x = (a,b,c).

Sendo u = (1,2,-3), v = (2,0,-1) e w = (3,1,0), temos que:

x.u = -16

(a,b,c).(1,2,-3) = -16

a + 2b - 3c = -16

x.v = 0

(a,b,c).(2,0,-1) = 0

2a - c = 0

x.w = 3

(a,b,c).(3,1,0) = 3

3a + b = 3.

Com as equações obtidas acima, podemos montar o seguinte sistema linear:

{a + 2b - 3c = -16

{2a - c = 0

{3a + b = 3.

Da segunda equação, temos que c = 2a. Da terceira equação, temos que b = 3 - 3a.

Substituindo os valores de b e c na primeira equação, obtemos:

a + 2(3 - 3a) - 3.2a = -16

a + 6 - 6a - 6a = -16

-11a = -22

a = 2.

Consequentemente:

b = 3 - 3.2

b = 3 - 6

b = -3

e

c = 2.2

c = 4.

Portanto, o vetor x é igual a x = (2,-3,4).