Question

Dados os vetores u=(1,1,-1) e v=(x,y,1), determine os valores para x e y de modo que u e v sejam ortogonais e também que o modulo de v = raiz de 14

Answer 1

Olá

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RESPOSTA: Para que os vetores u e v sejam ortogonais e que v tenha módulo igual a √14   ... x=-2    e   y=3,  ou x=3   e   y=-2.



Temos que resolver por partes.
Se os vetores são ortogonais, então o produto escalar entre eles é 0.

$\vec{u}=(1,1,-1)\\\\ \vec{v}=(x,y,1) \\ \\ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \\ \\ \\ (1,1,-1)\cdot (x,y,1)=0 \\ \\ x+y-1=0 \\ \\ \boxed{x=1-y}$

Isso é o máximo que podemos fazer por enquanto nesse item...

Agora vamos calcular o módulo de v, que tem que ser igual a √14

$|\vec{v}|= \sqrt{x^2+y^2+1^2}~= \sqrt{14} \\ \\ \\ \text{No lugar do 'x' substituiremos pelo que encontramos no item anterior} \\ \\ \\ |\vec{v}|= \sqrt{(1-y)^2+y^2+1^2}= \sqrt{14} \\ \\ \text{Desenvolve o quadrado} \\ \\ \\ \sqrt{y^2-2y+1+y^2+1} ~=~ \sqrt{14} \\ \\ \text{Agrupa os termos em comum} \\ \\ \\ \sqrt{2y^2-2y+2} ~=~ \sqrt{14} \\ \\ \text{Eleva os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz} \\ \\ (\sqrt{2y^2-2y+2})^2 ~=~ (\sqrt{14} )^2 \\ \\ 2y-2y+2=14 \\ \\ 2y-2y-2-14=0$

$2y-2y-12=0 \\ \\ \\\text{Temos uma equacao do segundo grau, entao resolve por bhaskara} \\ \\ y'=3\\y''=-2$

Agora temos que voltar la no primeiro item para descobrir o valor do X. substituindo o y por 3 ou -2

$x=1-y \\ \\ x=1-3 \\ \\ \boxed{x=-2} \\ \\ \\ \text{Entao para que u e v sejam ortogonais, X tem que ser -2 e Y igual 3}$

Você pode substituir o y por -2, com isso você encontrará x=3; ambos estão certos.
Deixo como exercício calcular o produto escalar entre u e v, substituindo os valores de y e x, você verá que resultará em zero. (já que são ortogonais).
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Agora temos que voltar no segundo item e substituir os valores de X e Y para ver se o módulo resultará em √14

$|\vec{v}|= \sqrt{x^2+y^2+1^2} ~=~ \sqrt{14} \\ \\ \sqrt{(-2)^2+(3)^2+(1)^2} ~=~ \sqrt{14} \\ \\ \sqrt{4+9+1} ~=~ \sqrt{14} \\ \\ \boxed{\sqrt{14} =\sqrt{14} }$