Question

dados os vetores u = (1,-1,1) e v = (2,-2,4), calcule: a) area do paralelograma de determinado u e v; b) a altura do paralelograma relativa a base definida pelo vetor u

Answer 1

A área do paralelogramo é dado por:

 $|| u \times v || = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&1\\2&-2&4\end{array}\right] \\ \\ \\ || u \times v || = -2i-2j \\ \\ \\ || u \times v || = (-2,-2,0) \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2} \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{8}$

A altura h relativa à base u é dado por:

$h= ||v|| \cdot \sin \theta$

Mas para isso precisamos calcular o seno do angulo entre u e v:

$\displaystyle || u \times v || = ||u|| \cdot ||v|| \cdot \sin \theta \\ \\ \\ \sqrt{8} = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+4^2} \cdot \sin \theta \\ \\ \\ \sqrt{8} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{24} \cdot \sin \theta \\ \\ \\ \sqrt{8} = \sqrt{72} \cdot \sin \theta \\ \\ \\ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{72}} = \sin \theta \\ \\ \\ \sin \theta = 0,33333 \, ... \\ \\ \sin \theta = \frac{1}{3} \\ \\ \sin \theta \approx 19,47^o$

Então:

$\displaystyle h= ||v|| \cdot \sin \theta \\ \\ \\ h = \sqrt{24} \cdot \frac{1}{3} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{h=\frac{\sqrt{24}}{3}}}$

Answer 2

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é 2√2; A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u é 2√6/3.

a) Para determinarmos a área do paralelogramo formado pelos vetores u = (1,-1,1) e v = (2,-2,4), devemos, primeiramente, calcular o produto vetorial u x v.

Calculando o produto vetorial, obtemos:

u x v = i((-1).4 - (-2).i) - j(1.4 - 2.1) + k(1.(-2) - 2.(-1))

u x v = i(-4 + 2) - j(4 - 2) + k(-2 + 2)

u x v = -2i - 2j + 0k

u x v = (-2,-2,0).

Agora, devemos calcular a norma do vetor u x v:

||u x v||² = (-2)² + (-2)² + 0²

||u x v||² = 4 + 4 0

||u x v||² = 8

||u x v|| = 2√2.

Portanto, a área do paralelogramo é igual a 2√2 unidades de área.

b) Sabemos que a área de um paralelogramo é igual ao produto da base pela altura.

Vamos supor que a altura relativa à base definida pelo vetor u seja h.

A norma do vetor u é igual a:

||u||² = 1² + (-1)² + 1²

||u||² = 1 + 1 + 1

||u||² = 3

||u|| = √3.

Como a área é igual a 2√2, então:

2√2 = √3.h

h = 2√2/√3

h = 2√6/3 unidades de comprimento.

Para mais informações sobre paralelogramo: https://brainly.com.br/tarefa/1637799