Question

Dados os vetores e1 = 2i + 3j - k, e2 = i + j, e3 = 4i e v = 2i + 2j + k, Determinar v como combinação linear de e1, e2 e e3.

Answer 1

e1 = 2i + 3j - k
e1 = (2, 3, -1)

e2 = i + j
e2 = (1, 1, 0)

e3 = 4i
e3 = (4, 0, 0)

v = 2i + 2j + k
v = (2, 2, 1)

Escrever v como combinação linear de e1, e2, e e3, significa:

v = a.e1 + b.e2 + c.e3

Devemos então, encontrar a, b e c

(2, 2, 1) = a.(2, 3, -1)+b.(1, 1, 0)+c.(4, 0, 0)
(2, 2, 1) = (2a, 3a, -a)+(b, b, 0)+(4c, 0, 0)
(2, 2, 1) = (2a+b+4c, 3a+b, -a)

Daí desenvolvemos um sistema, comparando as componentes:

2a+b+4c = 2
3a+b = 2
-a = 1

Pela última equação, encontramos "a"

-a = 1
a = -1

Substituindo esse valor na segunda equação, encontramos "b"

3a+b = 2
3.(-1)+b = 2
-3 + b = 2
b = 2+3
b = 5

E substituindo esses valores na primeira equação, encontramos "c"

2a+b+4c = 2
2.(-1)+5 + 4c = 2
-2 + 5 +4c = 2
3 + 4c = 2
4c = 2-3
4c = -1
c = -1/4

Assim, 

v = a.e1 + b.e2 + c.e3

v = -e1 + 5e2 -(e3)/4