Question

Dados os vetores a=(2,-1,1), b=(1,-1,0) e c=(x,1,-3) assinale a alternativa que contém o(s) valor(es) de x, para que o volume do paralelepípedo definido pelos vetores a, b e c seja igual a 1?

x=5 ou x=3


x=2


x=6 ou x=-3


x=5


x=-5 ou x=-3

Answer 1

Olá
_____________________________________________________________
Caso não consiga visualizar, tente abrir pelo navegador:
https://brainly.com.br/tarefa/8519370
_____________________________________________________________

A última alternativa é a correta, x=-5 ou x=-3

Podemos calcular o volume do paralelepípedo através do módulo do produto misto entre 3 vetores.
Para calcular o produto misto é bem simples, basta montar uma matriz 3x3 com os vetores dados e igualar a zero.
Porém, o enunciado já nos deu o valor que o volume deve ter, então temos que encontrar o valor de 'x' para que o volume seja 1, com isso, temos que montar a matriz 3x3 e igualar a 1.


$|[\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}]| = \left[\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&-1&0\\x&1&-3\end{array}\right] =1 \\ \\ \\ \text{Calculando o determinante por sarrus} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{cccc} 2 ~ ~~~~ ~~ & -1~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ & 2 ~ ~~~~ ~~ -1 \\ 1~ ~~~~ ~~ & -1~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ -1 \\ x ~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ & -3 ~ ~~~~ ~~ & x ~ ~~~~~~~ ~~ 1\\ \end{array}\right]=1$

$(6+0+1)~-~(3+0-x)=1 \\ \\ |7-3+x|=1 \\ \\ |x+4|=1 \\ \\ \\ \text{Temos uma equacao modular, isso quer dizer que teremos 2 valores}\\\text{para x.} \\ \\ \\ x+4=1 \\ \\ x=1-4 \\ \\ \boxed{x=-3}~~~~~~ ~~~ \longleftarrow ~~\text{Primeiro valor de x} \\ \\ \\ \\ -(x+4)=1 \\ \\ -x-4=1 \\ \\ -x=1+4 \\ \\ -x=5 \\ \\ \boxed{x=-5}~~~~~~ ~~~ \longleftarrow ~~\text{Segundo valor de x}$


Para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores a,b,c seja igual a 1, o x tem que ser igual a -3 ou igual a -5.