Question

Dados os pontos A(x, 1),B(-1, 2)e C(3, 0)determine a ordenada do ponto A para que eles estejam alinhados .​

Answer 1

⠀⠀A abscissa x do ponto A deve ser igual a 1 para que os pontos A, B e C estejam alinhados.

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Considerações

⠀⠀Três pontos estarão alinhados, ou em outras palavras, serão colineares — que são pontos que pertencem à mesma reta — se o determinante formado por suas coordenadas for igual a zero. Dessa forma, só saberemos se três pontos A(xa , ya), B(xb , yb) e C(xc , yc) estarão alinhados — sem precisar colocá-los no plano cartesiano e ver na prática — se:

                                      $\\\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right|=0\end{array}}$

⠀⠀Agora se D ≠ 0 os pontos serão não-colineares, ou seja, não pertencerão à uma reta, mas serão vértices de um triângulo.

Voltando à questão

⠀⠀Dado três pontos A(x , 1), B(– 1 , 2) e C(3 , 0), desejamos determinar x no ponto A de modo que esses três pontos estejam alinhados. Com base no supradito, três pontos serão colineares se o determinante D for nulo:

$\\\large\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right|\\\\\left|\begin{array}{ccc}x&1&1\\\!\!\!-1&2&1\\3&0&1\end{array}\right|=0\end{array}$

⠀⠀Pela Regra de Sarrus — usada justamente para encontrar o resultado de determinantes 3x3 — que consiste em repetir as duas colunas iniciais, fazer a soma do produto da diagonal principal, e subtrair da soma do produto da diagonal secundária:

$\\\large\begin{array}{l}\left|\begin{array}{ccc}x&1&1\\\!\!\!-1&2&1\\3&0&1\end{array}\right|~\begin{matrix}x&1\\\!\!\!-1&2\\3&0\end{matrix}=0\\\\x\cdot2\cdot1+1\cdot1\cdot3+1\cdot(-1)\cdot0-[1\cdot2\cdot3+x\cdot1\cdot0+1\cdot(-1)\cdot1]=0\\\\2x+3+0-[6+0-1]=0\\\\2x+3-[5]=0\\\\2x+3-5=0\\\\2x-2=0\\\\2x=2\\\\x=\dfrac{2}{2}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{x=1}}\end{array}$

⠀⠀Sendo assim, os pontos serão colineares se x = 1, logo A(1 , 1).

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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