Question

Dados os pontos A(m, 1, 2), B(2, –2, –3), C(5, –1, 1) e D(3, –2, –2), determine:

a) O valor de m para que os pontos sejam coplanares.
b) Um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores BC e BD.

Answer 1

Temos os seguintes pontos:

$A(m, 1, 2), \: B(2, - 2, - 3), \: C(5, - 1, 1) \: e \: D(3, - 2, - 2)$

A partir desses pontos a questão faz as seguintes perguntas:

• a) O valor de m para que os pontos sejam coplanares.

Para que os pontos sejam coplanares, devemos fazer um determinante com os três vetores formados pelos pontos. Para encontrar esses tais vetores, basta trazê-los para a origem, ou seja, fazer a subtração do ponto final pelo inicial:

$\vec{AB} =B - A\: \to(2 - m , \: - 3 , - 5) \\ \vec{ AC } = C - A , \to (5 - m , \: - 2 , \: - 1)\\ \vec{A D} = D - A \: \to(3 - m , \: - 3 , \: - 4)$

Agora é só montar o determinante, caso o resultado seja "0", quer dizer então que os pontos são coplanares, já que se for diferente de "0", o resultado é que eles não são coplanares.

$\begin{bmatrix}2 - m& - 3& - 5\\5 - m & - 2& - 1\\ 3 - m& - 3& - 4\end{bmatrix} = 0 \\ - m + 4 = 0 \to - m = - 4 \to\boxed{m = 4}$

• b) Um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores BC e BD.

Vamos começar montando os vetores:

$\vec{BC }= C-B \to(3, 1, 4) \\ \vec{BD} = D - B \to (1,0 , 1)$

Para encontrar um vetor que sejam ortogonal, ou seja, perpendicular simultâneamente a esses dois vetores, basta calcular o produto vetorial entre os vetores BC e BD, pois como sabemos o resultado do produto vetorial é sempre um vetor que é perpendicular aos outros dois envolvidos.

$\begin{bmatrix}i& j& k\\3 & 1& 4\\ 1& 0& 1\end{bmatrix} = 1i + 1j - 1k$

Como normalmente não colocamos as componentes, então temos que o vetor perpendicular é dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{w = (1,1 , - 1)}$

Mas note que esse vetor não é unitário, pois o seu módulo é diferente de 1, então vamos partir para o versor que é um múltiplo desse vetor e é justamente o que procuramos (unitário). O versor é dado pela divisão do vetor pelo seu módulo.

$\ {versor} = \frac{w}{ | | w| | } \\ \\ versor = \frac{(1, \: 1, \: - 1)}{ \sqrt[]{1 {}^{2} + 1 {}^{2} + ( - 1) {}^{2} } } \\ \\ versor = \frac{(1, \: 1, \: - 1)}{ \sqrt{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{versor = \left( \frac{1}{ \sqrt{3} } , \: \frac{1}{ \sqrt{3} } , \: - \frac{1}{ \sqrt{3} } \right)}$

Espero ter ajudado

Answer 2

a)

Considerando os pontos coplanares, então os vetores $\vec{BC}=(3,1,4)$ e $\vec{BD}=(1,0,1)$ também são complanares. Dessa forma, o produto vetorial entre eles será um vetor ortogonal ao plano. Considerando então $\vec{v}=\vec{BC}\times\vec{BD}$, temos que:

$\vec{v}=\begin{vmatrix}i &j &k \\ 3 &1 &4 \\ 1 &0 &1 \end{vmatrix}$

$\vec{v}=i\cdot1\cdot1+j\cdot4\cdot1+k\cdot0\cdot3-(k\cdot1\cdot1+j\cdot3\cdot1+i\cdot0\cdot4)$

$\vec{v}=i+4j-(k+3j)$

$\vec{v}=i+j-k=(1,1,-1)$

Sendo um vetor ortogonal ao plano, o produto escalar entre ele e qualquer vetor do plano deve ser nulo. Pegando então o vetor $\vec{AB}=(2-m,-3,-5)$, temos que:

$\vec{AB}\cdot\vec{v}=0$

$(2-m,-3,-5)\cdot(1,1,-1)=0$

$2-m-3+5=0$

$m=4$

b)

Considerando que este vetor é o vetor $\vec{u}=(x,y,z)$, como já foi dito, o produto escalar entre ele e os vetores $\vec{BC}$ e $\vec{BD}$ deve ser nulo, logo:

$(x,y,z)\cdot(3,1,4)=0$

$3x+y+4z=0$

Da mesma forma:

$(x,y,z)\cdot(1,0,1)=0$

$x+z=0$

Dessa equação tiramos que $z=-x$. Substituindo $z$ na equação anterior:

$3x+y-4x=0$

$y=x$

Pelo fato do vetor ser unitário, seu módulo é igual a 1, logo:

$x^2+y^2+z^2=1$

Substituindo $y$ e $z$:

$x^2+x^2+(-x)^2=1$

$3x^2=1$

$x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Podemos então definir $\vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.