Question

Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m − 1, 2m, 2) e C(1, 3, -1), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo.

Answer 1

Resposta:

m=1

Área = $\frac{\sqrt{30} }{2}$ u.a. (unidade de área)

Explicação passo a passo:

a)

A(m,1,0)

B(m-1,2m,2)

C(1,3,-1).

Encontrar os vetores AB e AC

AB = (m-1,2m,2) - (m,1,0)

AB = (-1,2m-1,2)

AC = (1,3,-1) - (m,1,0)

AC = (1-m,2,-1)

Como ABC deve ser retângulo em A, então o ângulo entres os vetores deve ser 90°.

Pela forma para cálculo de angulo de vetores, tem-se:

produtor escalar entre os vetores:

AB·AC= cos 90°

(-1,2m-1,2)· (1-m,2,-1) = 0

-1+m+4m-2-2=0

5m-5=0

5m=5

m=5/5

m=1.

b) para calcular a área do triângulo, calcula-se o módulo dos vetores substituindo o valor de m:

|AB| = |(-1,1,2)| = |$\sqrt{(-1)^{2} +1^{2}+2^{2} } =\sqrt{6}$

|AC| = |(0,2,-1)| = $\sqrt{0^{2} +2^{2}+(-1)^{2} } =\sqrt{5}$

Pela fórmula,

Área triangulo

A = (base x altura)/2

A = ($\sqrt{6}$·$\sqrt{5}$)/2

A = $\frac{\sqrt{30} }{2}$ u.a. (unidade de área)

Answer 2

1ª forma : Produto escalar;
Para que o triângulo seja retângulo em A, o produto escalar entre os vetores AC e AB deve ser 0 :

$\displaystyle \sf \overrightarrow{ \sf AC} \cdot \overrightarrow{ \sf AB} = \left| AC\right |\cdot |AB|\cdot \underbrace{\sf Cos(90^\circ)}_{0} \\\\ \overrightarrow{ \sf AC} \cdot \overrightarrow{ \sf AB} = 0$

Vetores :
$\displaystyle \sf \overrightarrow{\sf AC}= C-A= \left (1-m \ , \ 3-1\ , \ -1 \right) \to \overrightarrow{\sf AC} = (1-m \ , \ 2, \ -1) \\\\ \overrightarrow{\sf AB} = B-A =(m-1-m,\ 2m-1, 2)\to \overrightarrow{\sf AB} = (-1,\ 2m-1,\ 2) \\\\ Da{\'i}}:\\\\ \overrightarrow{\sf AC}\cdot \overrightarrow{\sf AB} = 0 \\\\ (1-m \ , \ 2, \ -1)\cdot (-1,\ 2m-1,\ 2) = 0 \\\\ (1-m)\cdot (-1) + 2\cdot (2m-1)+2\cdot(-1) = 0 \\\\ m-1+4m-2-2 = 0 \\\\ 5m = 5 \\\\ \huge\boxed{\sf\ m = 1 \ }\checkmark$

2ª forma : pitágoras ;

Se o triângulo será retângulo em A, então é válida a relação :

$\sf\left \overline{AC}\right ^2+\left \overline{AB} \right ^2 =\left \overline{BC} \right ^2$

Fazendo distância entre dois pontos para achar os lados :
$\displaystyle \sf \overline{AC} = \sqrt{(1-m)^2+(3-1)^2+(-1-0)^2} \\\\ \overline{AC} = \sqrt{(1-m)^2+4+1} \\\\ \left \overline{AC}\right ^2 = (1-m)^2+5 \\\\\\ \overline{AB} = \sqrt{(m-1-m)^2+(2m-1)^2+(2-0)^2} \\\\ \overline{AB} = \sqrt{(-1)^2+(2m-1)^2+4} \\\\ \left \overline{AB} \right ^2 = (2m-1)^2+5}$

$\displaystyle \sf \overline{BC} = \sqrt{(1-(m-1))^2+(3-2m)^2+(-1-2)^2} \\\\ \overline{BC} = \sqrt{(1-m+1)^2+(3-2m)^2+9} \\\\ \left \overline{BC}\right ^2 = (2-m)^2+(3-2m)^2+9$

Daí :

$\sf\left \overline{AC}\right ^2+\left \overline{AB} \right ^2 =\left \overline{BC} \right ^2 \\\\ (1-m)^2+5+(2m-1)^2+5 =(2-m)^2+(3-2m)^2+9 \\\\ (1-m)^2+(2m-1)^2+10-9= (2-m)^2+(3-2m)^2 \\\\ 1-2m+m^2+4m^2-4m+1+1=4-4m+m^2+9-12m+4m^2 \\\\ 5m^2 -6m +3 = 5m^2 -16m +13 \\\\ 16m-6m = 13-3 \\\\ 10 m = 10 \\\\ \huge\boxed{\sf \ m = 1\ } \checkmark$

A área do triângulo será :

$\displaystyle \sf S_{\Delta ABC} = \frac{\overline{AB}\cdot \overline{AC}}{2} \\\\\\ \sf S_{\Delta ABC} = \frac{\sqrt{(2\cdot 1-1)^2+5}\ \cdot \ \sqrt{(1-1)^2+5 }}{2} \\\\\\ S_{\Delta ABC} = \frac{\sqrt{1+5}\ \cdot \ \sqrt{5 }}{2}\to S_{\Delta ABC} = \frac{\sqrt{6}\ \cdot \ \sqrt{5 }}{2} \\\\\\ \huge\boxed{\sf S_{\Delta ABC} = \frac{ \sqrt{30}}{2} \ }\checkmark$