Question

Dados os pontos A(2,4), B(8,5) e C(5,9). Pede-se:
a) O ponto médio de BC.
B) A distancia entre os pontos B e C.
C) Um equação de reta que passa por B, e C.
D) Considere os A, B e C como vértice de um triangulo.Calcule as coordenadas do baricentro

Answer 1

a) Seja M ($x_m, y_m$) o ponto médio de BC.

Temos:

$x_m = \frac{x_b + x_c}{2}\\\\x_m = \frac{8 + 5}{2}\\\\x_m = \frac{13}{2}\\\\\\y_m = \frac{y_b + y_c}{2}\\\\y_m = \frac{5 + 9}{2}\\\\y_m = \frac{14}{2}\\\\y_m = 7$

Logo, o ponto médio de BC é o ponto (13/2, 7)

b) A distância entre os pontos B e C é dada por:

$d = \sqrt{(x_c - x_b)^2 + (y_c - y_b)^2}\\\\d = \sqrt{(5 - 8)^2 + (9 - 5)^2}\\\\d = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2}\\\\d = \sqrt{9 + 16}\\\\d = \sqrt{25}\\\\d = 5$

c) Considere o seguinte formato para a equação da reta: y = ax + b, onde "a" é o coeficiente angular e "b" é o coeficiente linear.

Como a reta passa pelos pontos B (8, 5) e C (5, 9), temos:

B:

y = ax + b

5 = a.8 + b

C:

y = ax + b

9 = a.5 + b

Assim, podemos montar o seguinte sistema:

8a + b = 5

5a + b = 9

E podemos resolver o sistema subtraindo a segunda equação da primeira equação:

(8a + b) - (5a + b) = 5 - 9

3a = -4

a = -4/3

Com o valor de "a", podemos encontrar o valor de "b" através de qualquer uma das equações:

8a + b = 5

8(-4/3) + b = 5

-32/3 + b = 5

b = 5 + 32/3

b = 15/3 + 32/3

b = 47/3

Logo, a equação da reta que passa por B e C é:

y = ax + b

y = (-4/3)x + 47/3

y = -4x/3 + 47/3

d) Seja G ($x_g$, $y_g$) o baricentro do triângulo ABC. Temos:

$x_g = \frac{x_a + x_b + x_c}{3}\\\\x_g = \frac{2 + 8 + 5}{3}\\\\x_g = \frac{15}{3}\\\\x_g = 5\\\\\\y_g = \frac{y_a + y_b + y_c}{3}\\\\y_g = \frac{4 + 5 + 9}{3}\\\\y_g = \frac{18}{3}\\\\y_g = 6$

Answer 2

Resposta:

O ponto médio de AB é M = (5,9/2); A distância entre A e C é √34; A equação da reta que passa por A e B é y = x/6 + 11/3; O baricentro é G = (5,6) e o perímetro é 2P = √34 + √37 + 5.

a) As coordenadas do ponto médio são definidas calculando a média aritmética entre as coordenadas dos pontos extremos.

Sendo M tal ponto, temos que:

2M = (2,4) + (8,5)

2M = (10,9)

M = (5,9/2).

b) A distância entre dois pontos é calculada da seguinte maneira:

d² = (5 - 2)² + (9 - 4)²

d² = 3² + 5²

d² = 9 + 25

d² = 34

d = √34.

c) A equação de uma reta é da forma y = ax + b. Substituindo os pontos A e B nessa equação, obtemos o sistema:

{2a + b = 4

{8a + b = 5

Subtraindo a segunda equação pela primeira, obtemos o valor de a, que é:

6a = 1

a = 1/6.

Assim,

1/3 + b = 4

b = 4 - 1/3

b = 11/3.

A equação da reta é y = x/6 + 11/3.

d) O baricentro é igual a soma das coordenadas divido por 3, ou seja,

3G = (2,4) + (8,5) + (5,9)

3G = (15,18)

G = (5,6).

Para o perímetro, precisamos calcular as distâncias entre A e B, B e C, já que a distância entre A e C já foi calculada.

Assim, o perímetro será:

2P = √34 + √((8 - 2)² + (5 - 4)²) + √((5 - 8)² + (9 - 5)²)

2P = √34 + √37 + 5.

Explicação: