Question

Dados os pontos A(-2,-3) e B(4,-1), determine as coordenadas do ponto P, equidistante de A e B, quanto P pertence ao local indicado:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Temos $P(x,0)$ e queremos $AP=BP$

A distância entre dois pontos $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ é dada por $d(A,B)=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-y_{B})^2}$

Assim:

$AP=\sqrt{(x+2)^2+(0+3)^2}$

$BP=\sqrt{(x-4)^2+(0+1)^2}$

Como $AP=BP$, segue que:

$\sqrt{(x+2)^2+3^2}=\sqrt{(x-4)^2+1^2}$

$\sqrt{x^2+4x+4+9}=\sqrt{x^2-8x+16+1}$

$\sqrt{x^2+4x+13}=\sqrt{x^2-8x+17}$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$(\sqrt{x^2+4x+13})^2=(\sqrt{x^2-8x+17})^2$

$x^2+4x+13=x^2-8x+17$

$x^2-x^2+4x+8x=17-13$

$12x=4$

$x=\dfrac{4}{12}$

$x=\dfrac{1}{3}$

Logo, $P(\frac{1}{3},0)$

b) Nesse caso, temos $P(0,y)$

$AP=\sqrt{(0+2)^2+(y+3)^2}$

$BP=\sqrt{(0-4)^2+(y+1)^2}$

$\sqrt{2^2+(y-3)^2}=\sqrt{(-4)^2+(y+1)^2}$

$\sqrt{4+y^2-6y+9}=\sqrt{16+y^2+2y+1}$

$\sqrt{y^2-6y+13}=\sqrt{y^2+2y+17}$

$y^2-6y+13=y^2+2y+17$

$y^2-y^2+2y+6y=13-17$

$8y=-4$

$y=\dfrac{-4}{8}$

$y=-\dfrac{1}{2}$

Logo, $P(0,-\frac{1}{2})$

c) Agora temos $P(x, y)$, de modo que $x=y$

$AP=\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}$

$AP=\sqrt{(x+2)^2+(x+3)^2}$

$BP=\sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}$

$BP=\sqrt{(x-4)^2+(x+1)^2}$

$\sqrt{(x+2)^2+(x+3)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(x+1)^2}$

$\sqrt{x^2+4x+4+x^2+6x+9}=\sqrt{x^2-8x+16+x^2+2x+1}$

$\sqrt{2x^2+10x+13}=\sqrt{2x^2-6x+17}$

$2x^2+10x+13=2x^2-6x+17$

$2x^2-2x^2+10x+6x=17-13$

$16x=4$

$x=\dfrac{4}{16}$

$x=\dfrac{1}{4}$

$y=\dfrac{1}{4}$

Logo, $P(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$

d) Agora temos $P(x, y)$, tal que $x=-y$

$AP=\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}$

$AP=\sqrt{(2-y)^2+(y+3)^2}$

$BP=\sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}$

$BP=\sqrt{(-y-4)^2+(y+1)^2}$

$\sqrt{(2-y)^2+(y+3)^2}=\sqrt{(-y-4)^2+(y+1)^2}$

$\sqrt{4-4y+y^2+y^2+6y+9}=\sqrt{y^2+8y+16+y^2+2y+1}$

$\sqrt{2y^2+2y+13}=\sqrt{2y^2+10y+17}$

$2y^2+2y+13=2y^2+10y+17$

$2y^2-2y^2+10y-2y=13-17$

$8y=-4$

$y=\dfrac{-4}{8}$

$y=-\dfrac{1}{2}$

$x=\dfrac{1}{2}$

Logo, $P(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$