Question

Dados os pontos A(2;1) e B(4; 1):

1. Calcule uma equação para a reta s, paralela a reta r passando pelo ponto P.

2. Escreva uma equação para a reta t, mediatriz da reta r.

3. Calcule a distância do ponto P a reta r.

4.Calcule a área do triângulo ABP:

a) Pela formula da geometria, sendo At=b.h/2
b) Utilizando o método do determinante, sabendo que At = 1/2 |Det|

Answer 1

-Primeiro, temos que calcular a reta r, antes de irmos as questões do problema.

-Calculando o coeficiente angular da reta r com os pontos A e B:

Ponto A(-2,-1)
Ponto B(4,1)

M=YB-YA/XB-XA
M=1-(-2)/4-(-2)
M=1+2/4+2
M=3/6 (/3)
M=1/3

Coeficiente angular da reta (r) = 1/3

Calculando a equação da reta r:

Y-Yo=M(X-Xo)
Y-1=1/3(X-4)
3(Y-1)=1(X-4)
3Y-3=X-4
X-3Y-4+3=0
X-3Y-1=0 <== Equação geral da reta r

Partiu questões!

1)

-Se a reta (s) é paralela à reta (r), então o coeficiente de (s) é o mesmo da reta (r).Portanto:

M(r)=M(s) => M(s)=1/3
Ponto P(0,3)

-Substituindo os valores na equação:

Y-Yo=M(X-Xo)
Y-3=1/3(X-0)
3(Y-3)=1(X-0)
3Y-9=X
X-3Y+9=0 <= Equação geral da reta (s)

2)

-Primeiro, vamos calcular o ponto médio entre AB:

M=(XA+XA)/2,(YA+YB)/2
M=(-2+4)/2,(-1+1)/2
M=2/2,0/2
M=1,0 <= Ponto médio entre AB

-Note que a reta (t) mediatriz será perpendicular à reta (r). Diante disso, vamos achar o coeficiente angular de (t) através do coeficiente da reta (r), que já achamos no começo do problema.

-Coeficiente angular de (r) = 1/3

M(r).M(t)=-1
1/3M(t)=-1
M(t)=-1(3)
M(t)=-3

-Coeficiente angular da reta mediatriz (t) = -3

-Calculando a equação da reta mediatriz (t):

M=-3
Ponto médio AB(1,0)

Y-Yo=M(X-Xo)
Y-0=-3(X-1)
Y=-3X+3
Y+3X-3=0 <== Equação da reta mediatriz (t)

3)

-Distância entre um ponto até uma reta é dada  pela seguinte fórmula:C

D=lAX+BY+Cl/√A²+B²

-Calculando:

Reta (r) => X-3Y-1=0 
Ponto P(0,3)

D=lAX+BY+Cl/√A²+B²
D=l1(0)+(-3)3+(-1)l/√1²+(-3)²
D=l-9-1l/√1+9
D=l-10l/√10
D=10/√10 <== Distância da reta (r) até o ponto P

4-Calcular a área do triângulo ABP

a) Pelo método da geometria plana:

-Primeiro vamos calcular a base do triangulo. A base é a distância do ponto A até o ponto B. Então, vamos achar a distância entre esses dois ponto.

Ponto A(-2,-1)
Ponto B(4,1)

D²(ab)=(XB-XA)²+(YB-YA)²
D²=(4-(-2))²+ (1-(-1))²
D²=6²+2²
D²=36+4
D²=40
D=√40
D=√10.4
D(ab)=2√10

- Agora, vamos calcular a altura. A altura é a distância do ponto médio de AB até o ponto P. 

Calculando:

Ponto médio AB(1,0)
Ponto P(0,3)

D²(pm)=(XP-XM)²+(YP-YM)²
D²=(0-1)²+(3-0)²
D²=1²+3²
D²=1+9
D²=10
D=√10

- Já possuímos os valores da base e a altura do triângulo ABP, agora vamos substituir os valores na fórmula seguinte:

At=b.h/2

Calculando:

Base = 2√10
Altura =√10

At=(b.h)/2
At=(2√10.√10)/2
At=(2√100)/2
At=(2.10)/2
At=20/2
At=10 <== Área do triângulo ABP (método da Geo. plana)

b) Pelo método da Geometria analítica (uso do determinante 3x3) 

Ponto A(-2,-1)
Ponto B(4,1)
Ponto P(0,3)
 
        l -2  -1  1 l
Det  l  4   1  1  l
        l  0   3  1 l

(0.1.1)+(1.3.-2)+(-1.4.1)-(-2.1.1)-(4.3.1)-(-1.1.0)
0-6-4+2-12-0
-10-10
-20
Det = -20

-Aplicando na seguinte fórmula:

At = 1/2 |Det|

-Calculando:

At = 1/2 |Det|
At = 1/2 l-20l
At = 20/2
At = 10 <== Área do triângulo ABP (método da Geo. analítica)

:)