Question

Dados os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k):a) determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados.b) determine o valor de k para que a área do triângulo ABC seja igual a zero.c) sendo k = 3, desenhe o triângulo ABC e calcule sua área.

Answer 1

Resposta: k = 9, A= 6.

Explicação passo-a-passo:

a) Para que três pontos estejam alinhados, o determinante da matriz com suas coordenadas deverá ser zero. Assim, fazendo regra de Sarrus, temos:

$\left[\begin{array}{ccc|cc}1&3&1&1&3\\3&7&1&3&7\\4&k&1&4&k\end{array}\right] = 0$

7 + 12 + 3k - (28 + k + 9) = 0

7 + 12 + 3k - 28 - k - 9 = 0

2k - 18 = 0

2k = 18

k = 9

b) Seja A a matriz que possui as coordenadas de um triângulo, a área deste é dada pela metade do modulo de seu determinante:

$S = \dfrac{1}{2}.|D|$

Um triângulo de área zero não é um triângulo, mas pro propósito do exercício, teríamos que achar k de forma que o determinante desse zero, isso já foi feito na letra A, k= -9.

c) Vou calcular a área conforme expliquei no item B.

$\left[\begin{array}{ccc|cc}1&3&1&1&3\\3&7&1&3&7\\4&3&1&4&3\end{array}\right] = 7+12+9-28-3-9 = -12$

Sabendo que |-12| = 12, a área será:

$A = \dfrac{1}{2}.12=6$

Answer 2

a) Três pontos estarão alinhados quando o determinante da matriz 3x3 formada pelas coordenadas de seus pontos for igual a zero.

D = 0

$\left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&7&1\\4&k&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&3\\3&7\\4&k\end{array}\right] = 0$

(7+12+3k) - (28+k+9) = 0

19 + 3k - (37+k)=0

19 + 3k - 37- k = 0

2k = 37 - 19

2k = 18

k = 18 : 2

k = 9

Quando k = 9 estes pontos estarão alinhados. Não formam um triângulo.

b) Para que a área do triângulo seja igual a zero é preciso que o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos seja igual a zero (D=0).

S = $\frac{1}{2}.|D|$

S = $\frac{1}{2} |0|$

S = 0

Ou seja, não existe triângulo, não existe área.

c) Sendo k =3 teremos a matriz, o determinante e a área:

$\left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&7&1\\4&3&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&3\\3&7\\4&3\end{array}\right]= D$

$D = (7 + 12+9) - (28+3+9)$

$D= 28 - 40$

$D = - 12$

Área:

$S = \frac{1}{2}.|-12|$

$S = \frac{12}{2}$

$S = 6$

Observe os anexos.