Dados os pontos A(1,2), B(3,4) e C(7,2) , a medida da menor mediana, em unidades de comprimento, do triângulo isósceles que tem por base o segmento AC e que um dos lados está sobre a reta que passa pelos pontos A e B é igual a:
Soluções para a tarefa
A medida da menor mediana é igual a 3 unidades de comprimento.
Vamos determinar a equação da reta que passa pelos pontos A e B.
Substituindo os pontos A e B na equação y = ax + b, obtemos:
{a + b = 2
{3a + b = 4.
Da equação a + b = 2, podemos dizer que b = 2 - a.
Substituindo o valor de b na segunda equação:
3a + 2 - a = 4
2a = 2
a = 1.
Consequentemente:
b = 2 - 1
b = 1.
Logo, a equação da reta que passa por A e B é y = x + 1.
Vamos supor que o terceiro vértice do triângulo isósceles é D. Observe que podemos dizer que D = (x, x + 1).
Além disso, a distância entre A e D é igual à distância entre C e D.
Então:
(x - 1)² + (x + 1 - 2)² = (x - 7)² + (x + 1 - 2)²
x² - 2x + 1 + (x - 1)² = x² - 14x + 49 + (x - 1)²
-2x + 1 = -14x + 49
12x = 48
x = 4.
Logo, o ponto D é D = (4,5).
A menor mediana será a altura do triângulo ACD, relativa à base AC.
O ponto médio do lado AC é M = (4,2). Portanto, a medida da mediana será 5 - 2 = 3.