Question

dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x;2), determine x, sabemdo que o ponto C é equisidistante dos pontos A e B.​

Answer 1

Vamos lá.

AC = BC

(-1 - x)² + (-1 - 2)² = (5 - x)² + (-7 - 2)²

x² + 2x + 1 + 9 = x² - 10x + 25 + 81

12x = 106 - 10

12x = 96

x = 96/12 = 8

Answer 2

Resposta:

x = 8

Explicação passo a passo:

Se o ponto C é equidistante de A e B, a distância entre C e B é igual à distância entre C e A. Vamos usar a fórmula da distância entre pontos, da geometria analítica.

Distância entre C e A

$D_{ca}=\sqrt{(x-(-1))^2+(2-(-1))^2}\\\\ D_{ca}=\sqrt{(x+1)^2+(2+1)^2}\\ \\D_{ca}=\sqrt{(x+1)^2+3^2}$

Veja que (x+1)² é um produto notável, vamos desenvolvê-lo.

$D_{ca}=\sqrt{(x+1)^2+3^2}\\ \\D_{ca}=\sqrt{x^2+2x+1+9}\\ \\D_{ca}=\sqrt{x^2+2x+10}$

Agora, calculando a distância entre C e B

$D_{cb}=\sqrt{(x-5)^2+(2-(-7))^2}\\\\ D_{cb}=\sqrt{(x-5)^2+(2+7)^2}\\ \\D_{cb}=\sqrt{(x-5)^2+9^2}$

Temos outro produto notável, (x-5)²

$D_{cb}=\sqrt{(x-5)^2+9^2}\\ \\D_{cb}=\sqrt{x^2-10x+25+81}\\ \\D_{cb}=\sqrt{x^2-10x+106}$

Como $D_{ca}$ e $D_{cb}$ são iguais, temos que

$\sqrt{x^2+2x+10}=\sqrt{x^2-10x+106}$

Vamos elevar tudo ao quadrado pra retirar as raízes

$x^2+2x+10=x^2-10x+106$

Agora é só resolver a equação. Veja que temos x² dos dois lados, então já podemos cancelar os dois.

$2x+10=-10x+106\\\\2x+10x=106-10\\\\12x=96\\\\x=\frac{96}{12}\\ \\x=8$