Question

Dados os pontos A(0, 1,−1) e B(1, 2,−1) e os vetores u = (−2,−1, 1), v = (3, 0,−1).
a) Verifique que os vetores AB, u e v formam uma base para o R3.
b) Escreva as coordenadas de w = (−2, 2, 2) em relação a base do R3 do ítem a).

Answer 1

a)
AB=(1-0,2-1,-1+1)=(1,1,0)
 1   1    0    1   1
-2  -1   1   -2  -1 
3    0  -1    3    0

det=1+3-2=2 ≠ 0          ..{(1,1,0),(-2,-1,1),(3,0,-1)} é uma Base do R³. São Linearmente Independentes-LI e tem Três dimensões

b)

(-2,2,2)=a(1,1,0)+b(-2,-1,1)+c(3,0,-1)

-2=a-2b+3c 2=a-b  ==>a=b-2 2=b-c  ==>c=b-2

-2=b-2-2b+3b-6-2=2b-8 ==>b=3  ...a=3-2=1  e c=3-2=1

coordenadas de w na Base{(1,1,0),(-2,-1,1),(3,0,-1)} =(1,3,1)

Answer 2

a)

Para o conjunto ser uma base teremos que mostrar que é Linearmente Independente e que qualquer vetor do espaço tridimensional poderá ser escrito como combinação linear desses vetores do conjunto.

$w=AB \\ \\ w=(1,1,0) \\ \\ \cdots \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}-2&-1&1\\3&0&-1\\1&1&0\end{array}\right] = 2 \, \therefore \, LI$

O conjunto u,v e w é LI. Agora vamos mostrar o segundo requisito:

$a= \alpha _{1}u+ \alpha _{2}v+ \alpha _{3}w \\ \\ (x,y,z)=\alpha _{1}(-2,-1,1)+\alpha _{2}(3,0,-1)+\alpha _{3}(1,1,0) \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}-2\alpha _{1}+3\alpha _{2}+\alpha _{3}=x\\-\alpha _{1}+\alpha _{3}=y\\\alpha _{1}-\alpha _{2}=z\end{array}\right$

Resolvendo o sistema, encontramos os seguintes resultados para os valores de alfa:

$\alpha _{1}= \displaystyle \frac{3z-y+x}{2} \\ \\ \alpha _{2}= \frac{x-y+z}{2} \\ \\ \alpha _{3}= \frac{x+y+3z}{2}$

Provamos que o conjunto é uma base no espaço tridimensional.

b)

Vamos escrever o vetor dado como combinação linear dos vetores da base e vamos apenas chamar o vetor de a = (-2,2,2).

$a=\alpha _{1}u+\alpha _{2}v+\alpha _{3}w \\ \\ a=(\displaystyle \frac{3z-y+x}{2} )u+( \frac{x-y+z}{2} )v+( \frac{x+y+3z}{2} )w \\ \\ a=(\displaystyle \frac{3 \cdot 2-2-2}{2} )u+( \frac{-2-2+2}{2} )v+( \frac{-2+2+3 \cdot 2}{2} )w \\ \\ \boxed{a=u-v+3w}$