Question

Dados os números complexos Z1 = 1 + 2i, Z2 = -1 + 3i e z3 = 2 - 2i, calcule:
a) z1+ z2
b) z1- z2
c) z1z2
d) (z1 + z2)z3
e) (z1 + z2) + z3​

Answer 1

Os complexos ($\mathbb{C}$) são números de real importância para a matemática e para muitas outras áreas do conhecimento. Os naturais surgiram com a definição do número imaginário i, criando uma álgebra que funciona de maneira similar aos Reais, mas que possui operações e métodos próprios. A diferença já se mostra na definição de i, que vem de um número não bem definido nos Reais, mas muito bem definido nos complexos:

$i =\sqrt{-1}$

E essa é a principal diferença dos complexos dos reais, o fato de que i não está definido nos Complexos e portanto, não se mistura nas operações com os reais, vou dar um exemplo:

Tome $bi\in\mathbb{C}$ e $a \in \mathbb{R}$

Quando operamos entre os dois pela soma teremos:

$z_1=a+bi \in \mahtbb{C}$

E z₁ define todos os números complexos que existem, separando o próprio número numa metade real, que chamamos de Parte Real de z (denotamos Re(z)) e outra, acompanhada por i, de Parte Imaginária de z (denotamos Im(z)), no exemplo:

$Re(z_1) = a$

$Im(z_1)=b$

E quando falamos que as partes não se misturam, isso significa que, na soma, as partes se somam separadamente, matematicamente:

Dados $z_1 = a_1+b_1i$ e $z_2=a_2+b_2i$, a soma deles será:

$z_1+z_2=a_1+b_1i+a_2+b_2i=a_1+a_2+(b_1+b_2)i$

Ou seja,

$Re(z_1+z_2) = Re(z_1)+Re(z_2)$

$Im(z_1+z_2)=Im(z_1)+Im(z_2)$

A multiplicação de números complexos é um pouco mais elaborado, mas lembrando que

$i^2=-1$

$z_1z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i) = a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2i^2$

$z_1z_2=a_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)i$

Vamos calcular para valores do exercício:

$z_1=1+2i$

$z_2=-1+3i$

$z_3=2-2i$

a) z₁ + z₂

$z_1+z_2=1+2i-1+3i=5i$

b) z₁ - z₂

$z_1+z_2=1+2i-(-1+3i)=1+2i+1-3i=2-i$

c) z₁ * z₂

$z_1z_2=(1+2i)(-1+3i) = -1+3i-2i-6=-7+i$

d) (z₁ + z₂) * z₃

$(z_1+z_2)z_3=(1+2i-1+3i)(2-2i)=5i(2-2i)=10i+(-1)10=-10+10i$

e) (z₁ + z₂) + z₃

$z_1+z_2+z_3=1+2i-1+3i+2-2i=2+3i$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

z₁ = 1+2i

z₂ = -1+3i

z₃ = 2-2i

a)

z₁+z₂=1+2i+(-1+3i)=1-1+(2+3)i=5i

b)

z₁-z₂=1+2i-(-1+3i)=1+1+2i-3i=2-i

c)

z₁.z₂=(1+2i).(-1+3i)= -1+3i-2i+6i²= -1+i-6= -7+i

Obs.: i²= -1

d)

(z₁+z₂)z₃=(5i)(2-2i)=10i-10i²=10i-10(-1)=10i+10=10+10i

e)

z₁+z₂+z₃=5i+2-2i=2+3i