Question

Dados os números 3 e 9, deseja-se inserir entre eles 7 números de forma que os 9 formem uma progressão aritmética. Nesse caso, o sexto termo dessa P.A será:​

Answer 1

Temos, ao final, uma PA de 9 termos de modo que o primeiro termo é 3 e o último é 9, ou seja,

$a_1 = 3\, , \hspace{0.4cm} a_9 = 9$

Sabemos, pela equação geral da PA, que se a PA ter razão r, então

$a_9 = a_1+r\, (9-1) \iff a_9 = a_1+8r$

Como sabemos os termos, mas não sabemos o valor de r, podemos obter este último isolando-o

$9 = 3+8r \iff 8r = 9-3 \iff 8r = 6$

$r = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

Obtendo a razão podemos encontrar qualquer termo que queremos, deste modo, o sexto termo se dá por

$a_6 = 3 + \dfrac{3}{4}\, (6-1) = 3+ \dfrac{3\cdot 5}{4} =3+\dfrac{15}{4}$

$a_6 = \dfrac{27}{4} = 6.75$