Question

Dados os dois planos a seguir, calcule a distância entre eles e assinale a alternativa que corresponde a distância procurada. pi subscript 1 space : end subscript space 2 x plus 2 y plus 2 z minus 5 equals 0 space e space straight pi subscript 2 space : space space end subscript straight x plus straight y plus straight z minus 3 equals 0

Answer 1

As equações dos planos são:

π₁: 2x + 2y + 2z - 5 = 0

π₂: x + y + z - 3 = 0

A distância entre dois planos corresponde à distância entre um ponto pertencente a um dos planos e ao outro plano.

Sendo assim, vamos pegar um ponto pertencente ao plano π₂.

Observe que o ponto (1,1,1) pertence à π₂, pois 1 + 1 + 1 - 3 = 0.

A distância entre ponto (x',y',z') e plano ax + by + cz + d = 0 é calculada pela fórmula: $d=\frac{|ax' + by' + cz' + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Sendo assim, temos que:

$d=\frac{|2.1 + 2.1 + 2.1 - 5|}{\sqrt{2^2+2^2+2^}}$

$d = \frac{|2 + 2 + 2 - 5|}{2\sqrt{3}}$

$d=\frac{|1|}{2\sqrt{3}}$

$d=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Racionalizando:

$d=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

$d=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Portanto, a distância entre os dois planos π₁ e π₂ é igual a $\frac{\sqrt{3}}{6}$.