Question

Dados log 2 = 0,30 e log 7 = 0,85, determine:​

Answer 1

Vamos utilizar propriedades de logaritmos e potências para reescrever os logaritmos solicitados em função dos logaritmos conhecidos.

Antes, vale lembrar algumas das propriedades que serão utilizadas:

$Logaritmo~da~Pot\hat{e}ncia:~~ \boxed{\log_ba^c=c\cdot \log_ba}\\\\Troca~de~Base~Logaritmica:~~\boxed{\log_ba~=~\dfrac{\log_ca}{\log_cb}}\\\\Potencia~de~Expoente~Fracionario:~~\boxed{a^{\frac{c}{b}}=\sqrt[b]{a^c}}$

e)

$Reescrevendo~o~logaritmando~como~uma\\potencia~de~expoente~fracionario:\\\\\\\log\sqrt[2]{2}~=~\log2^\frac{1}{2}\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~da~pot\hat{e}ncia:\\\\\\\log\sqrt[2]{2}~=~\dfrac{1}{2}\cdot \log2\\\\\\Substituindo~o~valor~de~\log2\\\\\\\log\sqrt[2]{2}~=~\dfrac{1}{2}\cdot 0,30\\\\\\\boxed{\log\sqrt[2]{2}~=~0,15}$

f)

$Aplicando~a~propriedade~da~troca~de~base:\\\\\\\log_27~=~\dfrac{\log7}{\log2}\\\\\\Substituindo~o~valor~dos~logaritmos:\\\\\\\log_27~=~\dfrac{0,85}{0,30}\\\\\\\log_27~=~\dfrac{85}{30}\\\\\\\boxed{\log_27~=~\dfrac{17}{6}}$

g)

$Aplicando~a~propriedade~da~troca~de~base:\\\\\\\log_{49}32~=~\dfrac{\log32}{\log49}\\\\\\Reescrevendo~os~logaritmandos~como~potencias:\\\\\\\log_{49}32~=~\dfrac{\log2^5}{\log7^2}\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~da~potencia:\\\\\\\log_{49}32~=~\dfrac{5\cdot \log2}{2\cdot \log7}\\\\\\Substituindo~os~valores~dos~logaritmos:\\\\\\\log_{49}32~=~\dfrac{5\cdot 0,30}{2\cdot 0,85}\\\\\\\log_{49}32~=~\dfrac{1,50}{1,70}\\\\\\\log_{49}32~=~\dfrac{150}{170}$

$\boxed{\log_{49}32~=~\dfrac{15}{17}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$