Question

Dados log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, determine: log 5,4

Answer 1

Vamos lá! Nesse tipo de questão você tem que ser "safadinho". "Como assim?", talvez você pergunte. Se a questão te dá essa informações, é porque em algum momento você vai usá-las. Então, o passo inicial é fazer o log2 e o log3 aparecer aí... Deixemos de enrolar e vamos logo.
5,4 não é a mesma coisa que 54/10? Sendo assim:

$log_{}(5.4) = log_{}( \frac{54}{10} )$
"Top, mas no que isso pode me ajudar?", eu sei que você está pensando isso. Mas aí eu lhe digo, você está lembrado daquela propriedade? Essa:

$log_{a}( \frac{b}{c} ) = log_{a}(b) - log_{a}(c)$
Ou seja, quando você tem um logaritmando fracionário, você pode escrevê-lo como sendo a diferença entre o log de seu numerador pelo log de seu denominador, conservando as bases. Então:

$log_{ }( \frac{54}{10} ) = log_{}(54) - log_{}(10)$
Quando não é visível a base de um logaritmo é porque ela é 10. Sabendo disso você percebe que tem um logaritmo com logaritmando e base iguais e:

$log_{a}(a) = 1$


Logo:
$log_{}(54) - log_{}(10) = log_{}(54) - 1$
Agora perceba que 54 é a mesma coisa que 3x16. E há uma propriedade para quando o lagaritmando é um produto:

$log_{a}(b \times c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$

Tomando isso por base:

$log_{}(54) - 1 = \\ log_{}(3 \times 16) - 1= \\ log_{}(3) + log_{}(16) - 1$
Agora perceba que:

$16 = {2}^{4}$
E há outra propriedade, mas que diz respeito a logaritmandos que são potências e é esta:

$log_{a}( {b}^{c} ) = c \times log_{a}(b)$
Portanto:

$log_{}(3) + log_{}(16) - 1 = \\ log_{}(3) + log_{}( {2}^{4} ) - 1 = \\ log_{}(3) + 4 \times log_{}(2) - 1$
Lembre das informações que questão te dá:

$log_{}(3) = 0.48 \\ log_{}(2) = 0.3$
Ou seja:

$log_{}(3) + 4 \times log_{}(2) - 1 = \\ 0.48 + 4 \times 0.3 - 1 = \\ 0.48 + 1.2 - 1 = \\ 0.48 + 0.2 = \\ 0.68$
Aí está! Espero ter ajudado!

A. Sidney :)