Question

Dados doze inteiros, mostre que é possível escolher dois deles de modo que sua diferença seja divisível por $11$.

Answer 1

Dado um número inteiro, digamos $n$, há $11$ possibilidades quanto ao resto da divisão de $n$ por $11$.

O resto pode ser $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ ou $11$.

Deste modo, dados doze inteiros, obrigatoriamente dois deles deixam o mesmo resto quando divididos por $11$.

E, por deixarem o mesmo resto, sua diferença é divisível por $11$.

De fato, pois

Suponha que os números são $m=11a+k$ e $n=11b+q$.

Assim, $m-n=11a+k-11b-q=11(a-b)$, pois $k-q=0$.

C.Q.D