Question

Dados dois números $x$ e $y$ reais e positivos, chama-se média aritmética de $x$ com $y$ o real $a = \frac{x+y}{2}$ e chama-se média geométrica o real $g = \sqrt{xy}$. Mostre que $a \geq g$ para todos $x$, $y$ ∈ R+.

Answer 1

Resposta:

Para quaisquer $a$, $b$ ∈ R+, temos:

$(a - b)^{2} \geq 0\\\\a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0\\\\a^{2} + b^{2} \geq 2ab$

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geq ab$

Considerando-se os números $x$ e $y$ ∈ R+ tais que

$a^{2} = x$   e   $b^{2} = y$ ,

temos:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geq ab\\\\\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x}\,.\,\sqrt{y}\\\\\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$

⇔  $a \geq g$ ,

chegando ao resultado que gostaríamos de demonstrar.

Answer 2

Resposta:

Demonstração

Explicação passo a passo:

Pelo dado x e y são reais positivos:

Seja x ≥ y

$x-y\geq 0\implies(x-y)^2\geq 0^2\implies(x-y)^2\geq 0\\\\x^2-2xy+y^2\geq 0\implies x^2+y^2\geq 2xy$

Completando o quadrado:

$x^2+2xy+y^2\geq 2xy+2xy\implies(x+y)^2\geq 4xy\\\\\frac{(x+y)^2}{4}\geq xy$

Extraindo as raízes dos dois lados, não precisa considerar o módulo, pois dos dois lados são positivos.

$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$

Logo, a ≥ g

c.q.d