Question

Dados dois números naturais m e n, tais que m.n=720, mdc(m,n)=6 e mdc(n,20)=4, pode-se afirmar que m+n é igual a
a)36
b)54
c)72
d)90
e)126 
Obs: obviamente que é B, eu quero saber pq que é B, pq tem uns engraçadinhos....

Answer 1

Olá, Thassi.

Como  $mn=720=2^4\cdot3^2\cdot5,$ podemos escrever  $m$  e  $n$ como um produto de potências de 2, 3 e 5:

$\begin{cases} m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},k_1,k_2,k_3\in\mathbb{N}\\\ n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},k_4,k_5,k_6\in\mathbb{N}\end{cases}$

Como  $mn=720,$ temos que:

$2^{k_1+k_4}\cdot3^{k_2+k_5}\cdot5^{k_3+k_6}=2^4\cdot3^2\cdot5 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} k_1+k_4=4\\ k_2+k_5=2\\ k_3+k_6=1 \end{cases}$

Por outro lado, como  $\text{mdc}(m,n)=6,$  temos que:

$\text{mdc}(2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6})=6=2^1\cdot3^1\cdot5^0 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} \text{min}(k_1,k_4)=1\\ \text{min}(k_2,k_5)=1\\ \text{min}(k_3,k_6)=0 \end{cases}$

De  $k_2+k_5=2$  e  $\text{min}(k_2,k_5)=1,$  obtemos que:

$\boxed{k_2=k_5=1}$

Como  $\text{mdc}(n,20)=4,$ temos que  $n$  é múltiplo de 4.
Ou seja,  $n$  é múltiplo de  $2^2.$

Como  $n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},$  então  $k_4\geq2.$

Como  $\text{min}(k_1,k_4)=1,$  então  $\boxed{k_1=1}.$

Como  $k_1+k_4=4,$  então  $\boxed{k_4=3}.$

Portanto:

$\begin{cases} m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3}=2^1\cdot3^1\cdot5^{k_3}=6\cdot5^{k_3} \\ n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6}=2^3\cdot3^1\cdot5^{k_6}=24\cdot5^{k_6} \end{cases}$

Há, assim, duas respostas possíveis:

$\begin{cases} \text{. Se }k_3=0\text{ e }k_6=1: \begin{cases} m=6\cdot5^0=6\\ n=24\cdot5^1=120 \end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=126} \\\\ \text{. Se }k_3=1\text{ e }k_6=0: \begin{cases} m=6\cdot5^1=30\\ n=24\cdot5^0=24 \end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=54} \end{cases}$

Como  $\text{mdc}(120,20)=20\neq4\text{ e }\text{mdc}(24,20)=4,$  então a única resposta possível é  $n=24$  e  $m=30,$  ou seja:

$\boxed{m+n=54}$


Resposta: letra "b".