Question

Dados a, b ∈ R. Demonstre que:

| a + b | ≤ | a | + | b |

Answer 1

Considere os dois casos

• Se $a+b>0$

Segue que da definição de módulo temos

$|a+b|=a+b$

Utilizando a seguinte propriedade de módulo

$x\leq|x|\quad(\,-x\leq|x|\,\,\mbox{tamb\'em vale e vai ser usado mais a frente })$

Então temos

$\displaystyle\left \{ {{a\leq|a|} \atop {b\leq|b|}} \right.$

Somando as duas temos

$a+b\leq|a|+|b|$

Mas $|a+b|=a+b$, então

$\overbrace{a+b}^{|a+b|}\leq|a|+|b|\\\\\Rightarrow |a+b|\leq|a|+|b|$

• Se $a+b<0$

Analogamente, usando a definição de módulo

$|a+b|=-(a+b)$

Como no primeiro caso segue que

$\displaystyle\left \{ {{-a\leq|a|} \atop {-b\leq|b|}} \right.$

Somando as duas

$-a-b\leq|a|+|b|\Rightarrow -(a+b)\leq|a|+|b|$

Mas $-(a+b)=|a+b|$, logo

$|a+b|\leq|a|+|b|$

Portanto, para $\forall\,a,b\in\mathbb{R}$, vale que

$|a+b|\leq|a|+|b|$

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/38585538