Question

Dados a apótema e o número de lados de um polígono regular, determine a medida do lado desse polígono.

Answer 1

Resposta:

O lado do polígono mede 2 × tangente (180º ÷ número de lados do polígono) × apótema

Explicação passo-a-passo:

O apótema de um polígono é o segmento que tem origem no centro da circunferência circunscrita a ele e extremidade no ponto médio do lado do polígono.

Num polígono de n lados, temos n triângulos isósceles, nos quais as bases são os lados do polígono, o ângulo do vértice principal é igual a 360º/n e a altura é o apótema do polígono. Chamemos a um destes triângulos de OAB, no qual:

- O é o centro da circunferência e vértice principal do triângulo

- A e B são vértices da base do triângulo

Chamemos ao ponto médio da base de M. Deste modo, temos:

- OM = apótema

- AM = BM = metade da base do triângulo e metade do lado do polígono

O apótema divide o triângulo OAB em dois triângulos retângulos iguais:

Δ OAM = Δ OΔM

Vamos raciocinar com os dados do triângulo OAM:

- O ângulo AÔM (α) é igual à metade do vértice principal dos n triângulos isósceles em que ficam divididos os polígonos regulares

- OM é o apótema do polígono e cateto

- AM é cateto oposto ao ângulo α (e metade do lado do polígono)

Assim, se obtivermos a medida de AM, basta multiplicá-la por 2 para obtermos a resposta à questão. Para isto, vamos utilizar a função trigonométrica tangente, pois:

tangente = cateto oposto ÷ cateto adjacente

tg α = AM ÷ OM

Como conhecemos:

α = 180º/n

OM = apótema

Podemos obter AM:

tg 180º/n = AM ÷ apótema

AM = tg 180º/n × apótema

Multiplicando por 2:

2AM = 2(tg 180º/n × apótema)

AB = 2(tg 180º/n × apótema)