Question

Dados A(1,-5) e B (-1,-9), obtenha o ponto C em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares e o ponto D em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes impares

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Isa, que a resolução é simples, embora só um pouquinho trabalhosa, pois sempre fazemos questão de resolver tudo bem explicado.

Portanto, vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Primeiro vamos encontrar qual é o coeficiente angular (m) da reta que passa nos pontos A(1; -5) e B(-1; -9).

Antes veja que uma reta que passe nos pontos A(xa; ya) e B(xb; yb) tem o seu coeficiente angular (m) encontrado da seguinte forma:

m = (yb-ya)/(xb-xa).

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então vamos encontrar o coeficiente angular (m) da reta que passa nos pontos A(1; -5) e B(-1; -9):

m = (-9-(-5))/(-1-1)
m = (-9+5)/(-2)
m = (-4)/(-2) --- ou apenas:
m = -4/-2
m = 4/2
m = 2 <--- Este é o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A e B da sua questão.

ii) Agora veja: quando você já conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um dos pontos por onde ela passa [digamos que seja: A(xa; ya)], então a sua equação é encontrada assim:

y - ya = m*(x - xa)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "2" (m = 2) e que passa em um dos pontos dados [vamos escolher o ponto A(1; -5)], terá a sua equação encontrada assim:

y - (-5) = 2*(x - 1)
y + 5 = 2x - 2 ----- passando "5" para o 2º membro, temos:
y = 2x - 2 - 5
y = 2x - 7 <--- Esta é a equação reduzida da reta que passa nos pontos A e B da sua questão.

iii) Agora vamos obter o ponto C, que é o ponto em que a reta corta corta a bissetriz dos quadrantes pares.
Antes veja que a reta que representa a bissetriz dos quadrantes pares é esta:

y = - x

Agora veja: como quando duas retas se cortam elas são iguais nesse instante (ou seja, quando elas estão se cortando), então vamos igualar a reta da sua questão com a reta que representa os quadrantes pares. Assim:

2x - 7 = - x ----- passando "-x" para o 1º membro e "-7" para o 2º, teremos:
2x+x = 7
3x = 7
x = 7/3 <--- Este é o valor da abscissa "x" no ponto de encontro da reta da sua questão com a reta que representa os quadrantes pares.

Assim, para encontrar "y", basta irmos na própria reta dos quadrantes pares, que é esta:

y = - x ----- substituindo-se "x" por "7/3", teremos;
y = - 7/3 <--- Este é o valor da ordenada "y" no ponto de encontro da reta da sua questão com a reta que representa os quadrantes pares.
Assim, o ponto "C", que é o ponto de encontro da reta da sua questão com a bissetriz dos quadrantes pares será este:

C(7/3; -7/3).

iv) Agora vamos obter o ponto D, que é o ponto em que a reta corta a bissetriz dos quadrantes ímpares. Antes veja que a reta que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares é esta:

y =  x

Agora veja: como quando duas retas se cortam elas são iguais nesse instante (ou seja, quando elas estão se interceptando), então vamos igualar a reta da sua questão com a reta que representa os quadrantes ímpares. Assim:

2x - 7 =  x ----- passando "x" para o 1º membro e "-7" para o 2º, teremos:
2x-x = 7
x = 7 <--- Este é o valor da abscissa "x" no ponto de encontro da reta da sua questão com a reta que representa os quadrantes ímpares.

Assim, para encontrar "y", basta irmos na própria reta dos quadrantes ímpares, que é esta:

y = x ----- substituindo-se "x" por "7", teremos;
y = 7 <--- Este é o valor da ordenada "y" no ponto de encontro da reta da sua questão com a reta que representa os quadrantes ímpares.

Assim, o ponto "D", que é o ponto de encontro da reta da sua questão com a bissetriz dos quadrantes ímpares será este:

D(7; 7).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.