Question

Dados A(1,0) B(4,1) C(4,y). Para que o ângulo BÂC= 45º, o valor de y deve ser:

A) y=6 ou y=2/3
B) y=-6 ou y= -2/3
C) y=6 ou y=-2/3
D) y=6 ou y= -3/2
E) y= -6 ou y= -3/2

Answer 1

O valor de y deve ser y = 6 ou y = -3/2.

Vamos determinar os vetores AB e AC.

Dados os pontos A = (1,0), B = (4,1) e C = (4,y), temos que:

AB = (4,1) - (1,0)

AB = (4 - 1, 1 - 0)

AB = (3,1)

e

AC = (4,y) - (1,0)

AC = (4 - 1, y - 0)

AC = (3,y).

Agora, devemos calcular a norma dos vetores AB e AC. Dito isso, obtemos:

||AB||² = 3² + 1²

||AB||² = 9 + 1

||AB||² = 10

||AB|| = √10

e

||AC||² = 3² + y²

||AC||² = 9 + y²

||AC|| = √(9 + y²).

Por fim, temos que o produto interno <AB,AC> é igual a:

<AB,AC> = 3.3 + 1.y

<AB,AC> = 9 + y.

O ângulo entre dois vetores é definido pela fórmula:

• $cos(\alpha)=\frac{<AB,AC>}{||AB||||AC||}$.

Como α é igual a 45º e cos(45) = √2/2, então:

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{9+y}{\sqrt{10}.\sqrt{9+y^2}}$

√2.√10.√(9 + y²) = 2(9 + y)

√(180 + 20y²) = 18 + 2y

180 + 20y² = (18 + 2y)²

180 + 20y² = 324 + 72y + 4y²

16y² - 72y - 144 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-72)² - 4.16.(-144)

Δ = 5184 + 9216

Δ = 14400

$y=\frac{72+-\sqrt{14400}}{2.16}$

$y=\frac{72+-120}{32}$

$y'=\frac{72+120}{32}=6$

$y'' = \frac{72-120}{32}=-\frac{3}{2}$.

Alternativa correta: letra d).