Question

dados A(0,4), B(-2,1) e C(1/2,3/2), mostre que o triangulo ABC é retangulo.

Answer 1

Precisamos determinar o comprimento dos três segmentos de reta formados por esses pontos:

$(\overline{AB})^{2} = (a_{x} - b_{x})^2 + (a_{y} - b_{y})^2 = (0 - (-2))^2 + (4 - 1)^2 = 4 + 9 = 13\\ \overline{AB} = \sqrt[2]{13}$

$(\overline{BC})^{2} = (b_{x} - c_{x})^2 + (b_{y} - c_{y})^2 = (-2 - \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 = (-\frac{5}{2})^2 + (- \frac{1}{2})^2 \\ (\overline{BC})^2 = \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \\ \overline{BC} = \frac{\sqrt[2]{13}}{\sqrt[2]{2}}$

$(\overline{CA})^2 = (c_{x} - a_{x})^2 + (c_{y} - a_{y})^2 = (\frac{1}{2} - 0)^2 + (\frac{3}{2} - 4)^2 = (\frac{1}{2})^2 + (- \frac{5}{2})^2 \\ (\overline{AC})^2 = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \\ \overline{AC} = \frac{\sqrt[2]{13}}{\sqrt[2]{2}}$

Ou seja, sabemos quanto valem os lados do triângulo, para que ele seja retângulo, precisa satisfazer o teorema de pitágoras, isto é, o lado maior ao quadrado deve ser igual a soma dos dois outros lados ao quadrado:

$(\overline{AB})^2 = (\overline{BC})^2 + (\overline{CA})^2\\ (\sqrt[2]{13})^2 = (\frac{\sqrt[2]{13}}{\sqrt[2]{2}})^2 + (\frac{\sqrt[2]{13}}{\sqrt[2]{2}})^2 \\ 13 = \frac{13}{2} + \frac{13}{2} = 13$

Como as medidas do triângulo satisfazem o teorema de Pitágoras, ele é retângulo.