Question

Dado um triângulo ABC mostre que a área do triângulo ABC é dada por 1/2 dos ssegmentos AB . AC . senÂ

Answer 1

A área de um triângulo (A) é usualmente calculada pelo semi-produto entre um lado e a altura relativa a este lado: A = (lado × altura) ÷ 2
Então a área do triângulo em função do lado AB, seria o produto deste lado pela altura (h), dividido por 2:
A = (AB × h) ÷ 2  (Vamos chamar a esta relação de 1)

A altura do lado AB é um segmento traçado pelo vértice C, perpendicularmente ao lado AB. Ao ponto onde esta perpendicular encontra o lado AB, chamemos de H. Assim, o triângulo AHC é retângulo em H, o segmento CH (h) é um cateto e o lado AC é a sua hipotenusa. Neste triângulo, o seno do ângulo A é igual ao cateto oposto (h) dividido pela sua hipotenusa (AC):
sen A = h ÷ AC ou, isolando h, h = sen A × AC

Vamos substituir em 1, o valor aqui obtido para h:

A = (AB × sen A × AC) ÷ 2, ou, se ordenarmos como colocado no enunciado, 

A = (AB × AC × sen A) ÷ 2