Question

Dado um losango cujo ângulo obtuso mede 150º e sua diagonal menor mede √3 cm, o lado desse losango é

a) x = √(2+√3)
b) x = √[3(2 + √3)] ÷ 3
c) x = √[2(3 - √2)]
d) x = √[3(2 + √3)]
e) x = √(2 - 3√3)

Answer 1

O ângulo todo vale 150º, metade dele vale 75º.

Todo o lado vale √3 cm, metade dele vale √3/2 cm.

Sabemos que:

sen 75º = (√2 + √6)/4

cos 75º = (√6 - √2)/4

Primeiro vamos descobrir qual é a altura do triângulo cujo ângulo é de 75º e um dos seus lados mede √3/2 cm. Para saber o lado que está de frente ao ângulo de 75º, temos que utilizar o cosseno:

cos α = CatetoAdjacente/hipotenusa

cos 75º = √3/2/H

(√6 - √2)/4 = √3/2/H

H(√6 - √2) = 4(√3/2)

H(√6 - √2) = 2√3   (vamos elevar os 2 lados ao quadrado e ver o que dá?)

[H(√6 - √2)]² = (2√3)²

H²(√6 - √2)² = 12

H²[(√6)² - 2√6√2 + (√2²)] = 12

H²(6 - 2√12 + 2) = 12

H²(8 - 2√12) = 12 ------> fatorando o 12

H²(8 - 4√3) = 12 -------> colocando o 4 em evidência

H²4(2 - √3) = 12  -----> como o 4 vai passar dividindo, simplifique por 4

H²(2 - √3) = 3

H² = 3/(2 - √3) -------> racionalizando

H² = [3/(2 - √3)]×[(2 + √3)/(2 + √3)]

H² = 3×(2 + √3)/(2 - √3)×(2 + √3)

H² = 3×(2 + √3)/(4 + 2√3 - 2√3 - 3)

H² = 3×(2 + √3)/1

H = √[3(2 + √3)]

Alternativa D

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

d) x = √[3(2 + √3)]

Explicação passo-a-passo:

Se eu tiver errado me corrija