Question

Dado um conjunto de sete inteiros positivos distintos, não necessariamente consecutivos, prove que existe um par cuja soma ou cuja diferença é um múltiplo de $10$.

Answer 1

 É esta aqui: Um inteiro positivo de dois algarismos é escrito na forma $10\text{A}+\text{B}$, onde $\text{B}$ é o algarismo das unidades. Para o algarismo das unidades, há $10$ possibilidades, ou seja, os números do intervalo $[0,9]$. Conforme o Princípio das Casas de pombo, temos: Os inteiros positivos dados são as casas e as possibilidades para o algarismo das unidades são os pombos. Vemos que, há $10$ pombos e apenas $7$ casas. O Princípio das Casas de pombo nos garante que pelo menos uma casa terá que conter dois pombos. Ou melhor, pelo menos dois inteiros positivos, dentre os sete dados têm o mesmo algarismo das unidades. Sejam $\text{k}$ e $\text{k}_1$ dois inteiros cujos os algarismos das unidades são iguais. Um número é divisível por $10$ se e somente se, o algarismo das unidades é $0$. Temos que, $\text{k}-\text{k}_1=10\text{A}+\text{B}$, onde $\text{B}=0$ Desta maneira, podemos afirmar que, $\text{k}-\text{k}_1$ é divisível por $10$. "se o algarismo das unidades de um inteiro é 0, então o inteiro é divisível por $10$." Consideremos o conjunto de sete inteiros distintos $\text{M}=\{\text{a}_1, \text{a}_2, \text{a}_3, \text{a}_4, \text{a}_5, \text{a}_6, \text{a}_7\}$. Sejam $\text{d}_1$ e $\text{d}_2$ os algarismos das unidades dos números selecionados. Vejamos as possibilidades, de modo que, o número obtido seja divisível por $10$. $(\text{d}_1, \text{d}_2)=(0,0),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)$ Num total de $10$ possibilidades. Conforme o Princípio das Casas de pombo, temos: Os inteiros postivos são as casas e as possibilidades, de modo que, o número obtido seja divisível por $10$ são os pombos. Há $10$ pombos para organizarmos em apenas $7$ casas. O PCP nos garante que pelo menos uma casa terá que conter dois pombos. Ou seja, teremos dois números cuja soma é divisível por $10$.