Question

dado sen x=1/3 com r/2<x<r determine o valor de cota x​

Answer 1

Vamos relembrar duas coisas :

1º) Relação fundamental da trigonometria

$Sen^2(x) +Cos^2(x) = 1$

2º) Cotangente

$\displaystyle Cotg(x) = \frac{1}{Tg(x)} = \frac{Cos(x)}{Sen(x)}$

Queremos a Cotg(x) e temos as seguintes informações :

$\displaystyle Sen(x) = \frac{1}{3}$  

intervalo : $\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \pi$

Vamos pegar a Relação fundamental da trigonometria e dividir ambos os lados por Sen²(X) :

$\displaystyle \frac{Sen^2(x)}{Sen^2(x)} +\frac{Cos^2(x)}{Sen^2(x)} = \frac{1}{Sen^2(x)}$

$\displaystyle 1 + Cotg^2(x) = \frac{1}{sen^2(x)}$

isolando a Cotg(x) :

$\displaystyle Cotg^2(x) = \frac{1}{sen^2(x)} -1$

$\displaystyle Cotg^2(x) = \frac{1}{sen^2(x)} -1}$

Substitui o valor do sen(x)

$\displaystyle Cotg^2(x) = \frac{1}{ (\displaystyle \frac{1}{3})^2} -1} \to Cotg^2(x) = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{9}} - 1 \to Cotg^2(x) = 8$

tirando a raiz quadrada :

$Cotg(x) = \pm \sqrt{8} \to Cotg(x) = \pm 2\sqrt{2}$

Vamos usar o valor negativo, já que o ângulo está no segundo quadrante, e sabemos que a tangente no segundo quadrante é negativo, portanto a Cotg(x) tbm será.

Logo :

$\fbox{\displaystyle Cotg(x) = -2\sqrt{2} }$