Question

Dado sen a = 2/3 e cos a = - √5/3, obtenha:
a) sen 2a
b) cos 2a
c) tg 2a
d) O quadrante em que se encontra o arco de medida a rad.
e) O quadrante em que se encontra o arco de medida 2a rad.

Answer 1

a) Aplicamos a fórmula do seno da soma: Sen (2x) = sen (x+x)

Sen (a+b) = sen a cos b + sen b cos a
Sen(x+x) = sen x cos x + sen x cos x
Sen(2x) = 2 sen x cos x
Sen (2a) = 2 sen a cos a
Sen(2a) = 2 . 2/3 . - √5/3
Sen(2a) = (-4√5)/9

b) Cosseno da soma: cos(2a) = cos (a+a)
Cos (a+a) = Cos a cos b - sen a sen b
Cos(2a) = Cos a Cos a - sen a sen a
Cos (2a) = Cos²a - sen²a
Cos(2a) = (-√5/3)² - (2/3)²
Cos(2a) = 5/9 - 4/9
Cos(2a) = 1/9

c) Para sabermos a tangente basta dividir (sen 2a)/cos 2a 

(-4√5)/9 / 1/9

Divisão de frações, repetimos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. 

(-4√5)/9 . 9/1 
= -4√5

d) Pelo círculo trigonométrico, quando temos o cosseno negativo de um ângulo e o seno positivo, vemos que esse ângulo se encontra no 2º quadrante, entre pi/2 e pi.

e) Com 2a acontecia o contrário: o seno era negativo e o cosseno positivo. Quando isso acontece, é porque se trata do 4º quadrante. 

Espero ter ajudado.

Answer 2

$\textbf{Informa\c{c}\~oes\ pr\'evias:}\\\\ \mathrm{\sin{2a}=2\sin{a}\cos{a}\ \ \|\ \ \sin{a}=\dfrac{2}{3}}\\\\ \mathrm{\cos{2a}=\cos^2{a}-\sin^2{a}\ \ \|\ \ \cos{a}=\dfrac{-\sqrt{5}}{3}}$

$\mathrm{\mathbf{a)}\ \sin{2a}=2.\dfrac{2}{3}.\bigg(\dfrac{-\sqrt{5}}{3}\bigg)\ \to\ \boxed{\mathrm{\sin{2a}=\dfrac{-4\sqrt{5}}{9}}}}\\\\ \mathrm{\mathbf{b)}\ \cos{2a}=\bigg(\dfrac{-\sqrt{5}}{3}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^2=\dfrac{5}{9}-\dfrac{4}{9}\ \to\ \boxed{\mathrm{\cos{2a}=\dfrac{1}{9}}}}\\\\ \mathrm{\mathbf{c)}\ \tan{2a}=\dfrac{\sin{2a}}{\cos{2a}}=\dfrac{\frac{-4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}}\ \to\ \boxed{\mathrm{\tan{2a}=-4\sqrt{5}}}}$

$\mathrm{\mathbf{d)}\ Como\ \sin{2a}\ \textgreater \ 0\ e\ \cos{2a}\ \textless \ 0, \boxed{\mathrm{a\in2\ºQ.}}}\\\\ \mathrm{\mathbf{e)}\ Como\ \sin{2a}\ \textless \ 0\ e\ \cos{2a}\ \textgreater \ 0,\ \boxed{\mathrm{2a\in 4\ºQ.}}}$