Question

Dado o triângulo de vértices A (-4, 1, 1), B (1, 0, 1) e C (0, -1, 3), calcular a altura relativa ao lado BC.

Answer 1

Área do triângulo

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}||\vec{AB}\times\vec{AC}||}$

$\dotfill$

$\mathsf{\vec{AB}=B-A=(1-(-4),0-1,1-1)=(5,-1,0)}\\\mathsf{\vec{AC}=C-A=(0-(-4),-1-1,3-1)=(4,-2,2)}$

$\mathsf{\vec{AB}\times\vec{AC}}= \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\5&-1&0\\4&-2&2\end{vmatrix}$

$\mathsf{\vec{AB}\times\vec{AC}}=\hat{i}(-2)-\hat{j}(10)+\hat{k}(-10+4)\\\mathsf{\vec{AB}\times\vec{AC}=-2\hat{i}-10\hat{j}-6\hat{k}}$

$\mathsf{||\vec{AB}\times\vec{AC}||=\sqrt{(-2)^2+(-10)^2+(-6)^2}}\\\mathsf{||\vec{AB}\times\vec{AC}||=\sqrt{4+100+36}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}}$

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}||\vec{AB}\times\vec{AC}||}\\\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot~2\sqrt{35}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{A_{\triangle}=\sqrt{35}~u\cdot~a}}}}}$