Question

Dado o tetraedro de vertice A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(2,0,1), D(1,-2,0). Calcule a medida da altura relativa à face BCD.

Answer 1

Olá, Day. Boa tarde!

Vamos representar a figura deste modo:               

         A              
         /|\              
       /  |  \          
     /    |    \        
    /_ _ | _ _\     
B  \     |    /  D            
        \ | /               
         C

Imagine que seja igual uma pirâmide com 4 faces.

Primeiro, precisamos do valor de cada aresta do tetraedro para poder encontrar a altura.Temos as arestas formadas pelos seguintes vetores diretores: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Calculando os vetores, e depois o módulo do mesmo:

AB = B - A
AB = (0, 1, -1) - (-1, 3, 2)
AB = (0 - (-1), 1 - 3, -1 - 2)
AB = (0 + 1, -2, -3) 
AB = (1, -2, -3)

|AB| = $\sqrt{x_{AB}^{2} + y_{AB}^{2} + z_{AB}^{2}}$
|AB| = $\sqrt{(1)^{2} + (-2)^{2} + (-3)^{2}}$
|AB| = $\sqrt{1 + 4 + 9}$
|AB| = $\sqrt{14}$

AC =  C - A
AC = (2, 0, 1) - (-1, 3, 2)
AC = (2 - (-1), 0 - 3, 1 - 2)
AC = (2 + 1, -3, -1)
AC = (3, -3, -1)
|AC| = $\sqrt{x_{AC}^{2} + y_{AC}^{2} + z_{AC}^{2}}$
|AC| = $\sqrt{(3)^{2} + (-3)^{2} + (-1)^{2}}$
|AC| = $\sqrt{9 + 9 + 1}$
|AC| = $\sqrt{19}$

AD =  D - A
AD = (1, -2, 0) - (-1, 3, 2)
AD = (1 - (-1), -2 - 3, 0 - 2)
AD = (1 + 1, -5, -2)
AD = (2, -5, -2)
|AD| = $\sqrt{x_{AD}^{2} + y_{AD}^{2} + z_{AD}^{2}}$
|AD| = $\sqrt{(2)^{2} + (-5)^{2} + (-2)^{2}}$
|AD| = $\sqrt{4 + 25 + 4}$
|AD| = $\sqrt{33}$


Os demais seguem o mesmo raciocínio, então, não colocarei aqui os cálculos deles, somente o resultado:

BC = (2, -1, 2)
|BC| = $\sqrt{9}$
|BC| = 3

BD = (1, -3, 1)
|BD| = $\sqrt{11}$

CD = (-1, -2, -1)
|CD| = $\sqrt{6}$


Sabe-se que o volume do tetraedro, pela fórmula:

V = $\frac{1}{6} . (AB, AC, AD)$

Onde:

(AB, AC, AD) = Produto misto dos três vetores

(AB, AC, AD) = $\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-3\\3&-3&-1\\2&-5&-2\end{array}\right]$

(AB, AC, AD) =  $\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-3\\3&-3&-1\\2&-5&-2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&-2\\3&-3\\2&-5\end{array}\right]$

(AB, AC, AD) = [(1 . (-3) . (-2)) + (-2 . (-1) . 2) + (-3) . 3 . (-5))] - [((-3) . (-3) . 2) + (1 . (-1) . (-5)) + (-2 . 3 . (-2))]
(AB, AC, AD) = (6 + 4 + 45) - (18 + 5 + 12)
(AB, AC, AD) = 6 + 4 + 45 - 18 - 5 - 12
(AB, AC, AD) = 55 - 35
(AB, AC, AD) = 20

V = $\frac{1}{6} . (AB, AC, AD)$

V = $\frac{1}{6} . 20$

V = $\frac{20}{6}$

V = $\frac{10}{3}$ u.c.


Para encontrar a altura, utilizaremos outra fórmula do volume:

V = $\frac{Ab.h}{3}$

Onde:

Ab =  Área da base (triângulo) do tetraedro


Para a área desse triângulo utilizaremos a fórmula:

A = $\sqrt{p.(p-a) . (p - b) . (p - c)}$

Onde:

p = semi-perímetro do triângulo
a, b e c = lados desse triângulo

p = $\frac{a+b+c}{2}$

p = $\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}$


Substituindo:

A = $\sqrt{p.(p-a) . (p - b) . (p - c)}$

$A = \ \sqrt{\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}.(\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}-3) . (\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2} - \sqrt{6}) . (\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2} - \sqrt{11})$

$A = \ \sqrt{\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}.(\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}-6}{2}) . (\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}-2 \sqrt{6}}{2}) . (\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11} - 2\sqrt{11}}{2})$

$A = \ \sqrt{\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{11}}{2}.(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{11} - 3}{2}) . (\frac{3+\sqrt{11}-\sqrt{6}}{2}) . (\frac{3+\sqrt{6}-\sqrt{11}}{2})$

$A = \ \sqrt{(\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{11}-9+6+\sqrt{66}-3\sqrt{6}+\sqrt{66}-3\sqrt{11}}{4}).(\frac{9+3\sqrt{6}-3\sqrt{11}+3\sqrt{11}+\sqrt{66}-11-3\sqrt{6}-6+\sqrt{66}}{4})$

A = $\sqrt{(\frac{8+2\sqrt{66}}{4}) \ . \ (\frac{-8+2\sqrt{66}}{4})}$

A = $\sqrt{\frac{-64+16\sqrt{66}-16\sqrt{16}+4.(66)}{16}}$

A = $\sqrt{\frac{-64+264}{16}}$

A = $\sqrt{\frac{200}{16}}$

A = $\sqrt{\frac{25}{2}}$

A = $\frac{25}{\sqrt{2}}$


Racionalizando:

A = $\frac{25}{\sqrt{2}} \ . \ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

A = $\frac{25\sqrt{2}}{2}$


Aplicando a fórmula do volume:

V = $\frac{Ab.h}{3}$

$\frac{10}{3} \ = \ \frac{\frac{25\sqrt{2}}{2} \ . \ h}{3}$

$\frac{10}{3} \ . \ 3 \ = \ (\frac{25\sqrt{2}}{2} \ . \ h)$

$10 \ = \ \frac{25\sqrt{2}}{2} \ . \ h$

$h \ = \ \frac{10}{\frac{25\sqrt{2}}{2}}$

$h \ = \ 10 \ . \ \frac{2}{25\sqrt{2}}$

$h \ = \ \frac{20}{25\sqrt{2}}$

$h \ = \ \frac{4}{5\sqrt{2}}$

$h \ = \ \frac{4}{5\sqrt{2}} \ . \ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$h \ = \ \frac{4\sqrt{2}}{5.2}$

$h \ = \ \frac{4\sqrt{2}}{10}$

$\boxed{\bold{h \ = \ \frac{2\sqrt{2}}{5}}}$