Question

Dado o sistema de equações lineares
x+y+z=2
x-y-z=3
2x-y+z=4

Answer 1

• A partir dos devidos cálculos, temos que as incógnitas x , y e z que satisfazem o sistema linear dado são respectivamente: 5/2 , 1/4 e -3/4.

Desejamos resolver o seguinte sistema

linear:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases} x+y+z=2\ \ \green{\mathtt{(I)}}\\ x-y-z=3\ \ \green{\mathtt{(II)}} \\ 2x-y+z=4\ \ \green{\mathtt{(III)}}\end{cases} \end{gathered} }$

Veja que da eq. $\large\displaystyle\begin{gathered} \tt I \end{gathered}$ , obtemos a seguinte relação:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}\rightsquigarrow\boxed{x=2-y-z} \end{gathered}$

Substituindo a mesma nas equações lineares, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\mathtt{(I)}\twoheadrightarrow (2-y-z)+y+z=2\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\mathtt{(I)}\twoheadrightarrow 2=2\end{gathered}$

Na segunda eq:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\mathtt{(II)}\twoheadrightarrow (2-y-z)-y-z=3\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\mathtt{(II)}\twoheadrightarrow-2y-2z=1\end{gathered}$

Por fim, na terceira eq:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\mathtt{(III)}\twoheadrightarrow 2(2-y-z)-y+z=4\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\mathtt{(III)}\twoheadrightarrow 4-2y-2z-y+z=4\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\mathtt{(III)}\twoheadrightarrow -3y-z=0\end{gathered}$

E dessa forma, transformamos o sistema linear de três eqs em um sistema linear de duas eqs, facilitando assim a nossa vida kk..

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases} x+y+z=2\ \ \green{\mathtt{(I)}}\\ x-y-z=3\ \ \green{\mathtt{(II)}} \\ 2x-y+z=4\ \ \green{\mathtt{(III)}}\end{cases}\implies \begin{cases} -2y-2z=1\ \ \green{\mathtt{(IV)}} \\ -3y-z=0\ \ \green{\mathtt{(V)}}\end{cases} \end{gathered} }$

Vamos então resolver esse sistema, utilizando o método da adição, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \begin{cases} -2y-2z=1 \\ -3y-z=0\ \cdot\ (-2)\end{cases} \implies \begin{cases} -2y-\diagup\!\!\!2z=1 \\ 6y+\diagup\!\!\!2z=0\end{cases}\end{gathered}$

Logo, surge que:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} 4y=1\end{gathered}$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\centerdot\ \boxed{y=\frac{1}{4} }\end{gathered} }$

Substituindo o y em qualquer eq, temos que o z vale:

$\large\displaystyle\begin{gathered} -2\cdot \left(\frac{1}{4} \right)-2z=1\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} -2z=1+\frac{1}{2} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} -2z=\frac{3}{2} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \centerdot\ \boxed{z=-\frac{3}{4}} \end{gathered} }$

Por fim, vamos utilizar aquela relação: $\large\displaystyle\begin{gathered}x=2-y-z \end{gathered}$ , para calcular o valor de x.

$\large\displaystyle\begin{gathered} x=2-y-z \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} x=2-\frac{1}{4} +\frac{3}{4} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} x=2+\frac{1}{2} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \centerdot \ \boxed{x=\frac{5}{2} }\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\boxtimes \end{gathered}$ Portanto, o conjunto solução para o sistema linear dado é igual a: $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S=\left\{\frac{5}{2}\ ,\ \frac{1}{4} \ ,\ -\frac{3}{4} \right\}\end{gathered} }$.

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