Dado o ponto A = (1,2), determinar as coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente sobre as retas y = x e y = 4x, de tal modo que A seja ponto m´edio do segmento PQ.
Soluções para a tarefa
As coordenadas dos pontos P e Q são: P = (4/3,4/3) e Q = (2/3,8/3).
Se o ponto P pertence à reta y = x, então podemos dizer que P = (x',x').
Da mesma forma, se o ponto Q pertence à reta y = 4x, então podemos dizer que Q = (x'',4x'').
Para calcularmos o ponto médio de um segmento, basta somarmos os pontos que são os extremos e, depois, dividir o resultado por 2.
Como queremos que A = (1,2) seja o ponto médio do segmento PQ, então:
2A = P + Q
2(1,2) = (x',x') + (x'',4x'')
2(1,2) = (x' + x'', x' + 4x'')
(2,4) = (x' + x'', x' + 4x'')
Igualando as coordenadas, obtemos um sistema:
x' + x'' = 2
x' + 4x'' = 4
Da primeira equação, podemos dizer que x' = 2 - x''.
Substituindo o valor de x' na segunda equação:
2 - x'' + 4x'' = 4
3x'' = 2
x'' = 2/3.
Logo,
x' = 2 - 2/3
x' = 4/3.
Portanto, os pontos P e Q são:
P = (4/3,4/3) e Q = (2/3,8/3).