Question

Dado o polinômio P(x)=x^{n}-1 , n N* ∈ , cujas raízes são 1, a, b, c, ..., t. Então,(1-a)(1-b)(1-c)...(1-t) vale: a) n, somente se o grau do polinômio for par. b) n, somente se o grau do polinômio for ímpar. c) 2n, somente se o grau do polinômio for ímpar. d) 3n, somente se o grau do polinômio for ímpar. e) n, qualquer que seja o grau do polinômio. NÃO CONSIGO ACHAR A RESOLUÇÃO E PRECISO DE AJUDA

Answer 1

Resposta:

Leia a baixo para compreender..

Explicação passo-a-passo:

      O polinômio P(x) irá possuir a quantidade de raízes iguais a n, é importante compreender que na formula dada pela questão uma das raízes de P não estará presente.

     Leve como exemplo n=2, isso quer dizer que temos 2 raízes, X'=1 e X"=a (de acordo com a questão) no entanto a multiplicação nunca leva em conta X' pois a formula para n=2 seria (1-a), usando a que já é a segunda raiz. Isso é importantíssimo, pois durante as contas teremos que compensar a falta da X'.

• Iremos atribuir valores para n e assim chegaremos a um resultado.

   - Para N = 2.

     Já sabemos que uma das raízes é 1, então basta achar a raiz a

P(x)=x²-1

x²-1=0

x=±√1 ∴ x'=1 , x"= -1  

     Então podemos concluir que a=-1. Jogando isso na formula:

R=(1-a)

R=(1-(-1))

R=2

   - Para N = 3.

    Possuindo 3 raízes, estará faltando as outras duas a e b. No entanto não será necessário acha-las. Acompanhe o raciocínio abaixo:

R=(1-a).(1-b)

R= 1-b -a +a.b

   - Se 1, a e b são raízes de P(x), Podemos forçar uma relação de soma das raízes e produto das raízes compensando a falta da raiz 1. Para o produto já está feito pois a.b=a.b.1, já para a soma, basta somar -1 de cada lado da equação e por em evidencia o próprio -1.

R-1= 1 -b-a-1 +a.b.1

R-1= 1 -1.(b+a+1) +a.b.1

   - A soma das raízes de uma equação de grau 3: Ax³+Bx²+Cx+D é dada por -B/A, no caso de P(x) nosso B é 0, portanto a soma das raízes de P(x) é igual a 0. Já o produto é dado por -D/A portanto o produto é -(-1)/1=1.

R-1=1 -1.0 +a.b.1

R-1= 1 +a.b.1

R-1= 1 + 1

R=3

     A partir destes resultados poderíamos afirmar que R que é a resposta da equação é igual a n, qualquer que seja o grau do polinômio (letra e). Porém, isso é incorreto, pois para n=1 a nossa equação não existe, pois um polinômio de grau 1 só tem uma raiz, que no nosso caso seria justamente a que não aparece na equação (A raiz que possui valor 1).

     Talvez você tenha escrito errado e tenha esquecido de dizer que:

{n ∈ N*  | n ≠ 1}. Pois nesse caso a resposta iria ser a letra e.

• Obs: Testei para n=4 também (R também será igual a n), no entanto fica mais complicado e pela restrição das respostas achei desnecessário colocar aqui.

Espero ter lhe ajudado.