Question

Dado o número complexo z = 1, quais são as raízes quartas de z?


A)1-1, 1+1,-1 -1 0-1 +i
B)1,1,-1 e-i
C)-2, -1 + 21, -1 -21 e -2- i
D)1, 21, -21 e 1 + i
E)2, -3 +41, -3 - 41 e 2 + 3i

Answer 1

Resposta: 1, i, -1, -i. (Acredito que você tenha cometido um erro de digitação na letra B)

Explicação passo-a-passo:

Essa é uma questão que envolve a 2° fórmula de Moivre, para calcular as raízes de um número complexo.

Um número imaginário Z tem n raízes, sendo n o índice do radical. (É o número que vem no √).

Nesse caso, o n = 4.

A 2° fórmula de Moivre é a seguinte:

Rk = ρ'(cos θk + isenθk), onde k é o número da raiz atual (a contagem começa em 0. 0, 1, 2,..,n-1), ρ' = raiz enésima de ρ e θk = (θ + 2kπ)/n.

Nota: ρ é o módulo do número complexo, nesse caso o módulo é 1.

Sabendo disso, começamos achando os valores importantes para a fórmula:

ρ' = raiz quarta de 1 = 1.

n = 4

Sabemos que o k começa em 0 e vai até 3, porque k vai até n-1.

E para saber o θ, basta imaginarmos o z = 1 no plano de Argand-Gauss. Percebe-se que o 1 fica em cima do eixo dos reais, logo θ = 0.

Com essas informações, o argumento de cada raíz será:

θ0 = (0 + 2.0.π)/4 = 0

θ1 = (0 + 2.1.π)/4 = 2π/4 = π/2

θ2 = (0 + 2.2.π)/4 = 4π/4 = π

θ3 = (0 + 2.3.π)/4 = 6π/4 = 3π/2

Calculando as raízes:

R0 = (cos 0 + isen 0) = 1

R1 = (cos π/2 + isen π/2) = i

R2 = (cos π + isen π) = -1

R3 = (cos 3π/2 + isen 3π/2) = -i