Question

Dado o complexo z=cos(π6)+isen(π6), determine z2 +z4:

Answer 1

sen(n π) = 0 para qualquer n = 0, 1, 2, 3,...
Sendo assim, sen(6π) = 0 e z se torna apenas:
z = cos(6π).
Mas cos(nπ) = 1 para todo n = 0, 2, 4, 6,...
Então z = cos(6π) = 1.
Logo, z² + z⁴ = 1 + 1 = 2

Answer 2

Resolverei a questão considerando o seguinte enunciado:
"Dado o complexo $z=cos(\dfrac{\pi}{6})+isen(\dfrac{\pi<span>}{6})$, determine $z^2+z^4$:"

Veja que $z$ já se encontra na forma trigonométrica. Podemos escrever: $z=cis(\dfrac{\pi}{6})$. Para resolver a questão, podemos usar a seguinte propriedade de cis:

$(cis(\theta))^n=cis(n\theta)$

Desenvolvendo a expressão que queremos calcular:

$z^2+z^4=(cis(\dfrac{\pi}{6}))^2+(cis(\dfrac{\pi}{6}))^4\\\\ z^2+z^4=cis(\dfrac{2\pi}{6})+cis(\dfrac{4\pi}{6})\\\\ z^2+z^4=cis(\dfrac{\pi}{3})+cis(\dfrac{2\pi}{3})\\\\ z^2+z^4=(cos(\dfrac{\pi}{3})+isen(\dfrac{\pi}{3}))+(cos(\dfrac{2\pi}{3})+isen(\dfrac{2\pi}{3}))\\\\ z^2+z^4=(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2})+(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2})\\\\ z^2+z^4=i\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\ \boxed{z^2+z^4=i\sqrt3}$