Question

Dado cotg x= 1/2 e sendo x um ângulo do terceiro quadrante, calcular o valor se sen x

Answer 1

Relembrando algumas relações de trigonometria

1)Cotangente  

$\fbox{\displaystyle Cotg(x) = \frac{Cos(x)}{Sen(x) } }$

2) Relação fundamental da trigonometria

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x)+Cos^2(x) = 1 }$

sabendo disso, vamos para a questão.

A questão nos pede o sen(x) e nos informa o seguinte :

$\fbox{\displaystyle Cotg(x) = \frac{1}{2} }$

vamos "abrir" a cotangente e multiplicar cruzado

$\fbox{\displaystyle \frac{Cos(x)}{Sen(x)}= \frac{1}{2} \to Cos(x) = \frac{Sen(x)}{2} }$

Agora vamos usar a relação fundamental da trigonometria

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x)+Cos^2(x) = 1 }$

Substituindo o valor do Cos(x)

$\fbox{\displaystyle Sen^2(x)+(\frac{Sen(x)}{2})^2 = 1 \to Sen^2(x) + \frac{Sen^2(x)}{4} = 1 }$

Tirando o MMC e isolando Sen(x)

$\fbox{\displaystyle \frac{4Sen^2(x) + Sen^2(x)}{4} = 1 \to \frac{5Sen^2(x)}{4} = 1 \to Sen^2(x) = \frac{4}{5} }$

Tirando a raiz quadrada dos dois lados  :

$\fbox{\displaystyle Sen(x) = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} \to Sen(x) = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \to Sen(x) = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} }$

Só racionalizei.

Agora precisamos saber se usaremos o valor positivo ou negativo. Note que a questão fala que o ângulo x está no 3º quadrante e, sabemos que Seno no 3º quadrante é negativo, logo usaremos a resposta negativa.

Portanto :

$\fbox{\displaystyle Sen(x) = - \frac{2\sqrt{5}}{5} }$