Dado cos x = 12/13 [ x no 1º quadrante ], calcule sen 2x e tg 2x.
Soluções para a tarefa
Resposta:
sen ( 2x ) = 120 /169
tg ( 2x ) = 120 / 119
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Dado cos x = 12/13 [ x no 1º quadrante ], calcule sen 2x e tg 2x.
Resolução:
Estas são as fórmulas que se vai usar.
sen ( 2x ) = 2 * sen x * cos x
tg ( 2x ) = 2 * tg x / ( 1 – tg²x )
É preciso calcular o sen (x) e a tg (x)
Para o sen (x) vamos usar a Lei Fundamental da Trigonometria :
sen² (x) + cos² (x) = 1
sen² (x) + (12/13)² = 1
⇔ sen² (x) = 1 - (12/13)²
⇔ sen² (x) = 1 - 144/169
⇔ sen² (x) = 169/169 - 144/169
⇔ sen² (x) = ( 169 - 144)/169
⇔ sen² (x) = 25/169
⇔ sen (x) = + √25/ √169 ∨ - √25/ √169
⇔ sen (x) = + 5/ 13 ∨ - 5 / 13
Ficamos com + 5 / 13 porque o seno é positivo no 1º quadrante
Cálculo da tg (x)
tg (x) = sen (x) / cos (x)
tg (x) = (5 / 13 ) / (12/13)
⇔ tg (x) = (5 * 13 ) / (13 *12)
O 13 do numerador da fração cancela com o 13 do denominador
⇔ tg (x) = 5 / 12
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Sabemos agora sen (x) = 5/ 13 cos x = 12/13 tg (x) = 5 / 12
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Cálculo de sen ( 2x )
sen ( 2x ) = 2 * sen x * cos x
⇔ sen ( 2x ) = (2 / 1) * (5/ 13) * (12/13)
⇔ sen ( 2x ) = ( 2 * 5 * 12 ) / ( 1 * 13 * 13 )
⇔ sen ( 2x ) = 120 /169
Cálculo de tg ( 2x )
tg ( 2x ) = 2 * tg x / ( 1 – tg²x )
⇔ tg ( 2x ) = 2 * 5 / 12 / ( 1 – (5 / 12)² )
⇔ tg ( 2x ) = 10/12 / ( 1 – 25 / 144 )
⇔ tg ( 2x ) = 10/12 / ( 144 / 144 – 25 / 144 )
⇔ tg ( 2x ) = 10/12 / ( ( 144 - 25 ) / 144 )
⇔ tg ( 2x ) = ( 10/12 ) / ( 119 / 144 )
⇔ tg ( 2x ) = ( 10 * 144 ) / ( 12* 119 )
⇔ tg ( 2x ) = 1440 / 1428
Dividindo ambos os termos da fração por 12
⇔ tg ( 2x ) = 120 / 119
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Sinais: (*) multiplicar ( / ) dividir (⇔) equivalente a
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.