Dado a função f:R -> R, sendo sua lei f(x) = cos x, determine:
a) o período da função
b) os zeros da função
c) f(0)
d) a derivada da função
e) f(π / 2)
Soluções para a tarefa
Resposta: a) 2π
b) x=π/2+kπ, k E N
c) 1
d) -sen(x)
e) 0
Explicação passo-a-passo:
a) Distância em x para a função começar a se repetir -> 2π
b) cos x=0
x=π/2+kπ, k E N
c) f(0)=cos(0)=1
d) dcos(x)/dx=-sen(x)
e) f(π/2)=cos(π/2)=0
Explicação passo-a-passo:
Considere a função f(x) = cos(x). Agora, vamos à resolução de cada item:
Letra a)
Sabe-se que a função transcendental (ou transcendente) f(x) = cos(x) é periódica e de período P(f) igual a 2pi *.
* Seja a função cosseno genérica g(x) = a + bcos(cx + d), onde a, d são reais quaisquer e b, c são reais distintos de 0 (zero). Temos que o seu período é o menor valor real e positivo de P ****, que satisfaz g(x) = g(x + P), para todo x real. Logo, vamos calcular P (período) em função dos coeficientes:
g(x) = g(x + P), para todo x real =>
a + bcos(cx + d) = a + bcos[c(x + P) + d] =>
bcos(cx + d) = bcos(cx + Pc + d) =>
cos(cx + d) = cos(cx + Pc + d) =>
cx + d = cx + Pc + d + 2kpi, k inteiro (i)
ou
cx + d = - cx - Pc - d + 2kpi, k inteiro (ii)
De (i) temos:
Pc + 2kpi = 0, k inteiro =>
P = - 2kpi/c, k inteiro **
** P é o menor número real e positivo que satisfaça a igualdade g(x) = g(x + P), para todo x pertencente ao conjunto dos números reais. Assim sendo, para garantir sua positividade, pegaremos o módulo de c e fazemos k = - 1, pois com o módulo de c (|c|) garantimos que P é positivo e k = - 1 garante o menor valor positivo de P. Com isso, o período P da função g(x) = a + bcos(cx + d) é dado por:
P = 2pi/|c|
De (ii) temos que o período P está em função da variável real x, o que obviamente não nos convêm, pois estamos considerando o período como sendo um real positivo e necessariamente constante (não podendo variar ao longo da variável independente x). É claramente perceptível que a função f(x) = cos(x) é um caso particular de g(x) = a + bcos(cx + d) (para a = 0, b = 1, c = 1 e d = 0), logo está provado que o seu período P(f) = 2pi/|c| = 2pi/|1| = 2pi.
Letra b)
Para encontrar os zeros reais (raízes reais) de f(x) = cos(x), basta fazer f(x) = 0. Portanto:
cos(x) = 0 =>
cos(x) = cos(pi/2) =>
x = pi/2 + 2kpi, k inteiro (iii)
ou
x = - pi/2 + 2kpi, k inteiro (iv)
De (iii) e (iv) temos:
x = pi/2 + kpi, k inteiro =>
S = {x é Real: x = pi/2 + kpi, k inteiro}
Letra c)
f(0) = cos(0) = 1
Letra d)
f(x) = cos(x) =>
f’(x) *** = - sen(x)(x)’ =>
f’(x) = - sen(x)
*** Derivada de primeira ordem da função f(x) = cos(x)
Letra e)
f(pi/2) = cos(pi/2) = 0 (zero)
**** Eu utilizei uma das definições existentes para o período de uma função periódica g(x) (ou f(x)) qualquer. Sendo mais específico, o menor valor real e positivo de P que satisfaz g(x) = g(x + P) é denominado período fundamental de g, o que não foi abordado nesta resolução. Busquei simplificar ao máximo a definição de período, porém esta também está correta (assim como o próprio enunciado, que apenas diz a palavra “período”). É correto dizer que o período de f(x) = cos(x) é 2pi, sendo também correto dizer que o seu período é qualquer múltiplo inteiro de 2pi, ou seja, quaisquer arcos obtidos de 2kpi (sendo k um inteiro arbitrário) serão considerados períodos da função. Porém, para evitar tais múltiplas respostas, reforcei dizendo que o período será o menor valor real e positivo, que satisfaz (para todo x) a equação proposta g(x) = g(x + P). Em resumo, ao longo desta resolução, o período fundamental P foi chamado simplesmente de período. No tocante às respostas múltiplas para o período da função P-períodica, faz-se necessário falar sobre o período fundamental, pois este é um valor univocamente determinado.
Abraços!