Question

Dado a f'(x) = 3x² - 6x – 24 e -2 e 4 os únicos pontos críticos, Encontre o máximo relativo.

Answer 1

Resposta:

f'(x) = 3x² - 6x – 24  

f''(x)=6x-6

f(-2)=-12-6 < 0  ..máximo

f(4) =24-6 =18 > 0  ....mínimo

integrando f'(x)

f(x)=x³-3x²-24x +c

Obs:não temos c , é necessário a f(x) , ou pelo menos um ponto qualquer

para calcula o c

ponto de máximo(-2,f(-2))

Answer 2

Usando o teste da segunda derivada, para verificar quem é mínimo relativo basta aplicar o ponto crítico na função derivada segunda e verificar se o resultado é positivo. Analogamente para se ter o máximo relativo basta que o ponto crítico aplicado na função derivada segunda seja negativo.

Encontrando a derivada segunda temos

$f''(x)=6x-6$

Quando x=4

$f"(4)=6.4-6=24-6=18>0$→mínimo relativo

Quando x=-2

$f''(-2)=6.(-2)-6=-12-6=-18<0$→máximo relativo

Outra forma de verificar se -2 de fato é máximo relativo, seria encontrando a função original. Integrando esta função temos

$\int( 3{x}^{2}-6x-24)dx\\=3.\frac{1}{3}{x}^{3}-6.\frac{1}{2}{x}^{2}-24x+k$

$\int( 3{x}^{2}-6x-24)dx\\={x}^{3}-3{x}^{2}-24x+k$

Como não temos informação o suficiente para determinar a constante k, temos que nos valer do teste da derivada segunda o qual já concluímos que o máximo relativo ocorre no ponto (-2,f(-2)).