Dadas uma reta r é uma circunferência λ, verifiquem a posição relativa de r e λ. Se houver pontos comuns(tangente ou secante), determinem esses pontos:
a) r: 2×-y+1=0 e λ: x²+y²-2x=0
b) r: y=x e λ: x²+y²+2x-4y-4=0
Soluções para a tarefa
r: 2x - y + 1 = 0
λ : x² + y² - 2x = 0
x² - 2x + y² = 0
x² - 2x + 1 - 1 + y² = 0
(x - 1)² + (y - 0)² = 1
C(1, 0)
r = 1
Distância ponto - reta ⇒
d = | ax + by + c | / √(a² + b²)
d = | 2 . 1 + (-1) . 0 + 1 | / √(2² + 0²)
d = | 2 + 1 | / √4
d = | 3 | / 2
d = 3 / 2
d > r
Reta é exterior a circunferência
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b)
r: y = x
r: y - x = 0
r: x - y = 0
λ : x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0
x² + 2x + y² - 4y - 4 = 0
x² + 2x + 1 - 1 + y² - 4y + 4 - 4 - 4 = 0
(x + 1)² + (y - 2)² - 9 = 0
(x + 1)² + (y - 2)² = 9
C(-1, 2)
r = 3
Distância ponto - reta ⇒
d = | ax + by + c | / √(a² + b²)
d = |1 . (-1) + (-1) . 2 + 0 | / √(1² + (-1)²)
d = | -1 - 2 | / √(1 + 1)
d = | -3 | / √2
d = 3 / √2
d = 3√2 / 2
d < r
Reta é Secante a circunferência.
Pontos de intersecção ⇒
{ y = x
{ x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0
x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0
x² + x² + 2x - 4x - 4 = 0
2x² - 2x - 4 = 0
x² - x - 2 = 0
(x - 2) . (x + 1) = 0
x' = -1
x'' = 2
Quando x = -1 ⇒
y = x
y = -1
Quando x = 2 ⇒
y = x
y = 2
Pontos de intersecção ⇒
A(-1, -1)
B(2, 2)
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A reta 2x - y + 1 = 0 e a circunferência x² + y² - 2x = 0 não possuem pontos em comum; A reta y = x e a circunferência x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 possuem dois pontos em comum (-1,-1) e (2,2).
A reta pode ser:
- secante à circunferência
- tangente à circunferência
- exterior à circunferência.
Para a primeira possibilidade, a distância do centro da circunferência à reta tem que ser menor que a medida do raio.
Para a segunda possibilidade, a distância do centro da circunferência à reta tem que ser igual a medida do raio.
Para a terceira possibilidade, a distância do centro da circunferência à reta tem que ser maior que a medida do raio.
a) Dada a equação x² + y² - 2x = 0, temos que:
x² - 2x + 1 + y² = 1
(x - 1)² + y² = 1
ou seja, o centro é (1,0) e o raio é 1.
A distância entre (1,0) e 2x - y + 1 = 0 é igual a:
d = 3/√5.
Como 3/√5 > 1, então a reta está no exterior da circunferência. Logo, não há interseção.
b) Sendo x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0, temos que:
x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 4 + 1 + 4
(x + 1)² + (y - 2)² = 9
ou seja, o centro da circunferência é (-1,2) e o raio é 3.
A distância entre (-1,2) e x - y = 0 é:
d = 3/√2.
Como 3/√2 < 3, então a reta é secante à circunferência.
Os pontos comuns serão:
x² + x² + 2x - 4x - 4 = 0
2x² - 2x - 4 = 0
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
ou seja, (-1,-1) e (2,2).
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