Question

Dadas f(x) = 6x+7 e f(g(x)) = 2x+1, calcule g(x)​

Answer 1

Vamos fazer de duas maneiras.

1ª maneira:

Note que para calcular f(g(x)) basta substituir x por g(x) na formula da função f. Ou seja:

f(x)  = 6x+7

f(g(x)) = 6g(x) + 7

Logo, usando que f(g(x)) = 2x+1 temos

$6\,g(x) + 7 = 2x + 1 \\[1.5ex]6\,g(x) = 2x + 1 - 7\\[1.5ex]g(x) = \dfrac{2x-6}6\\[1.2ex]g(x) = \dfrac x3 - 1$

2ª maneira:

Podemos também calcular a inversa de f para resolver o problema. Nessa questão esse método será mais trabalhoso, mas pode ser útil em outros exercícios. Temos:

$f(x) = 6x+7 \implies x = 6f^{-1}(x) + 7 \implies \boxed{f^{-1}(x) =\dfrac{x-7}{6} }$

Daí temos

f(g(x)) = 2x +1

f⁻¹( f(g(x)) = f⁻¹(2x+1)

Aplicando a propriedade da função inversa, temos f⁻¹( f( g(x))) =g(x). Portanto

$g(x) = f^{-1}(2x+1) \\[1.5ex]g(x) = \dfrac{2x+1-7}{6} \\[1.5ex]g(x) = \dfrac x3 -1$

Resposta:

$\boxed{g(x) = \dfrac x3 -1}$