Question

dadas as retas e pontos abaixo, encontre a distancia entre eles:
P (2, 6) e reta s: 2x + 4y -1 = 0

Answer 1

Olá!

veja:

P(2, 6)

reta s: 2x + 4y - 1 = 0 

$D = \frac{|ax+by+c|}{ \sqrt{(a^2+b^2)} } \\ \\ D = \frac{|2.2\;+\;4.6\;-\;1|}{ \sqrt{(2^2+4^2)} } \\ \\ D= \frac{|4\;+\;24\;-\;1|}{ \sqrt{(4+16)} } \\ \\ D= \frac{|\;27\;|}{ \sqrt{20} } \\ \\ D= \frac{27}{ \sqrt{20} }\\ \\ Devemos\;racionalizar.\\ \\ D= \frac{27}{ \sqrt{20} } \;x\; \frac{ \sqrt{20} }{ \sqrt{20} } \\ \\ D= \frac{27 \sqrt{20} }{( \sqrt{20})^2 } \\ \\ D= \frac{27 \sqrt{20} }{20} \\ \\ D= \frac{27 \sqrt{5} }{10} \\ \\ Bons \;estudos!$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Elida, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se a distância entre o ponto P(2; 6) e a reta "s" cuja equação é esta:

2x + 4y - 1 = 0 .

Antes de iniciar, veja que a distância de um ponto P(x₀; y₀) a uma reta de equação Ax + By + C = 0, é dada pela seguinte fórmula:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A²+B²) , em que "d" é a distância pedida;  "A", "B" e "C" são os coeficientes, respectivamente de "x", de "y" e do termo independente da reta dada, enquanto "x₀" e "y₀" são as coordenadas do ponto P(x₀; y₀).

ii) Portanto, tendo a fórmula acima como parâmetro, então vamos encontrar a distância do ponto P(2; 6) à reta de equação: 2x + 4y - 1 = 0. Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula acima, teremos:

d = |2*2 + 4*6 + (-1)| / √(2²+4²)
d = |4 + 24 - 1| / √(4+16) ---- desenvolvendo, teremos:
d = |27| / √(20) ----- como o módulo de "27" é igual a 27, então ficaremos:
d = 27 / √(20) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(20)". Assim, fazendo isso, teremos:

d = 27*√(20) / √(20)*√(20) ------ desenvolvendo o produto indicado, temos:
d = 27√(20) / √(20*20) ------ continuando, teremos:
d = 27√(20) / √(400) ------ como √(400) = 20, ficaremos com:
d = 27√(20) / 20 ----- note que 20 = 2².5 . Assim, ficaremos com:
d = 27√(2².5) / 20 ---- veja que o "2", por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

d = 2*27√(5) / 20
d = 54√(5) / 20 ---- simplificando-se tudo por "2", iremos ficar apenas com:
d = 27√(5) / 10 u.m. <--- Esta é a resposta. Em outras palavras, isso significa que a distância entre o ponto P(2; 6) à reta de equação 2x+4y-1 tem 27√(5)/10 u.m. (u.m. = unidades de medida).

Se você quiser dividir "27" por "10" e apresentar a resposta em forma de fração decimal (em vez de fração ordinária como é a que demos acima), então basta saber que 27/10 = 2,7 e, assim, a resposta também poderia ficar apresentada da seguinte forma:

d = 2,7√(5) u.m. <--- A resposta também poderia ser apresentada assim.

Você escolhe como quer apresentar a resposta, dependendo das opções de resposta fornecidas pela questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.